II. M = i x BASES COVARIANTES YCONTRAVARIANTES.Cálculo Vectorial2013-1 2. {\displaystyle \mathbf {x} } j e … + Dans l'énoncé suivant, la deuxième égalité doit donc être comprise comme une correspondance plutôt que comme une égalité. k Améliorez-le, discutez des points à améliorer ou précisez les sections à recycler en utilisant {{section à recycler}}. e Des correspondances {\displaystyle (x(i))_{i=1\ldots n}} {\displaystyle \mathbf {x^{*}} } x x {Les champs des tenseurs sur les vari et es pseudo-riemanniennes. ⋅ R = varie de façon contraire, c'est-à-dire lorsque, T j V {\displaystyle \mathbf {x} } {Les composantes covariantes et contravariantes. 1 x , d'où, en calculant le produit scalaire par , ∑ {\displaystyle \mathbf {e'} } . {\displaystyle X=(X(i))_{i=1\ldots n}} {\displaystyle \mathbf {R} } i Revenons maintenant sur quelque chose qui va nous sembler bien ancien… ′ 1 i 1.1.2 Convention de sommation Lorqu’on effectue lasomme de certaines quantités, on utilise couramment la lettre Les concepts de covariance et contravariance se retrouvent dans d'autres domaines, comme en informatique, notamment concernant le typage des données. = ) vers e vers un espace vectoriel de même corps que . n 1 j ( Cette leçon étudie le repérage dans un repère non orthonormé. n {\displaystyle T^{\mu }} ) ′ Composantes contravariantes et covariantes d’un vecteur. Coordonnées covariantes et contravariantes ... Soient deux vecteurs et leurs coordonnées dans les deux repères : p : p i et p i ' : et q i ' i = 1,2,3 ces deux vecteurs représentent des grandeurs physiques reliées entre elles par une propriété traduite par un tenseur . = ∗ x ) {\displaystyle x(j)=\sum _{i=1}^{n}A_{i}^{j}x'(i)}. {\displaystyle (\mathbf {e} '_{i})_{i=1\ldots n}} e j 2 Éléments de calcul tensoriel ) = Vecteur contravariant, covariant et covecteur, Produit tensoriel de deux applications linéaires, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)&oldid=174284587, Article avec une section vide ou incomplète, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. ∂ M {\displaystyle (b_{i})_{i=1\ldots n}} , Un système de n quantité qui dépendent des coordonnées qui sont transformées de telle manière est un vecteur contravariant. Les coordonnées contravariantes du vecteur u dans la base B sont les nombres x1, x2, … ,xn vérifiant : u ) . 1 Si 3 coordonnées; 4 Composantes covariantes et contravariantes d'un vecteur avec une métrique. 1 ′ 1 = e k x i ν Mais sachez qu'au fait un tenseur est grosso modo comme un déterminant... (cf. La notion est étroitement liée au concept de dualité : les coordonnées covariantes dans une base correspondent en effet aux coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement. ( {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}} : Par définition de la base duale, on a Une réorganisation et une clarification du contenu paraissent nécessaires. 1 k n Ces coordonnées portent le nom de coordonnées covariantes du vecteur v. Soit u un vecteur d’un espace euclidien de dimension n muni d’une base B = (e1, e2, … en). = = } x i … ∈ X + i ′ Dès lors, lorsqu'un ensemble … Covariance et contravariance simultanée. dans la base Essayons malgré tout de voir ce qu'elle peut signifier dans une base qui n’est pas orthonormée. = … e e . = O… {\displaystyle X} k i = et La définition rigoureuse nécessite (je pense personnellement) d'avoir d'abord lu le présent chapitre dans son intégralité. ′ ν {\overrightarrow {OM_{k}}}=OM_{k}}. i … avec la convention de sommation d'Einstein. Les produits scalaires d'un vecteur j et de forment alors une famille de fonctions de s'écrit: Et donc, compte tenu de l'unicité de la décomposition de ( x ′ i μ Dans la base {\displaystyle (x^{i})_{i=1\ldots n}} i n correspond un unique vecteur … T n e ⋯ { ( ( ( {\displaystyle (x(i))_{i=1\ldots n}} V {\overrightarrow {OM}}=e_{k}\left({\overrightarrow {OM_{k}}}+{\overrightarrow {M_{k}M}}\right)=e_{k}. n E et son dual ( {\displaystyle T_{\nu }=\partial _{\nu }x'^{\mu }T'_{\mu }}. = μ {\displaystyle (b'_{i})_{i=1\ldots n}} ) Ces grandeurs sont dites covariantes lorsqu'elles varient comme les vecteurs de la base, et contravariantes lorsqu'elles varient de façon contraire. i ′ k 1 Ce tableau se transforme évidemment comme les composantes d'un tenseur C d'ordre P + Q {\displaystyle P+Q} , appelé produit tensoriel de A et B . k k i et Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. ν l a k … k = i T {\displaystyle \mathbf {x} } n {\displaystyle {\mathcal {V}}} ) ) → T ( s'écrit, dans la base duale dans l'énoncé suivant et sa démonstration est en réalité le crochet de dualité de ) ) {\displaystyle T} i M C’est simple, on utilise Pythagore. = ( alors e {\displaystyle {\mathcal {V}}^{n}} x e x μ . e 1 … ou i n i Pour différencier les coordonnées habituelles des coordonnées covariantes que l’on vient de définir, nous mettrons l’indice en exposant (selon la coutume) et nous appellerons celle-ci coordonnées contravariantes (nous verrons pourquoi dans le chapitre suivant). E μ Este é um material mais ou menos canônico que pode ser encontrado em muitos livros de Física-Matemática, mas eu não me lembro de nenhuma discussão tão explícita como a que fizemos ontem. ) μ x e {\displaystyle A_{i}^{j}} (on dit que la base n’est plus orthogonale) Maintenant on a y… {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} {\displaystyle \mathbf {x} } telles que le changement de base de Vecteur contravariant, covariant et covecteur Contraction tensorielle. La dernière modification de cette page a été faite le 12 février 2020 à 23:11. 3.6.2. = Peut-on dire que ces coordonnées sont moins légitimes que les coordonnés habituelles ? ν ( ) x 1 ) C'est une conséquence directe de la linéarité de l'opérateur de dérivation directionnelle selon la direction. X ) Soit M un point dans le repère (O, e1, e2, e3) tel que ; O = {\displaystyle E} est donc bien covariante. X et O ( {\displaystyle \mathbf {e} =(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n})} ( Nous verrons ce que devient, en fonction des coordonnées, l’expression du produit scalaire dans un repère non orthonormé. x ν e ( μ 1 . {\displaystyle T_{\nu _{1}'\ldots \nu _{k}'}^{\mu _{1}'\ldots \mu _{l}'}=\partial _{\nu _{1}'}{x}^{\mu _{1}}\ldots \partial _{\nu _{k}'}{x}^{\mu _{k}}\partial _{\nu _{1}}x^{\mu _{1}'}\ldots \partial _{\nu _{l}}x^{\mu _{l}'}T_{\mu _{1}\ldots \mu _{k}}^{\nu _{1}...\nu _{l}}}. e = {\overrightarrow {OM_{k}}}+e_{k}. les expressions des deux familles dans la base ′ μ ) 1 i E ′ O i Un présentation plus générale du calcul tensoriel peut être trouvée dans [2]. δ {\displaystyle (\mathbf {e} _{j})_{j=1\ldots n}} ( (Pour simplifier, nous ferons la représentation dans un plan euclidien, mais les résultats restent valables en dimension 3.). Cela signifie que les vecteurs e1, e2, e3 sont de norme 1 mais ne sont pas orthogonaux. Ils notent ainsi: T j De plus, ce qu'on entend par "produit scalaire" Soit M1, M2, M3, les projections orthogonales du point M sur les axes du repère. {\displaystyle dx^{\mu }} j ( n ) Quand on utilise les coordonnées contravariantes d'un vecteur, on parle de vecteur contravariant . μ {\displaystyle \mathbf {x} } ′ {\displaystyle \mathbf {x} } … Lorsqu'un ensemble … ′ {\displaystyle T} i V {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {e} ^{i}} = RECORDANDO… Un escalar es una cantidad cuya especificación en cualquier sistema de coordenadas requiere solamente de un número. x Nous examinons maintenant les formes linéaires sur l'espace E.Il s'agit des applications linéaires de E dans , qui forment l'espace E *, appelé espace dual, qui est aussi de dimension n.. Une telle application peut être caractérisée par son action sur une base de E (elle est linéaire). et ( Pour représenter la position d’un point dans un espace vectoriel, on utilise autant de nombres (réels généralement, mais pas nécessairement) qu’il y a de dimensions dans cet espace. Soit u un vecteur d’un espace euclidien de dimension n muni d’une base B = (e1, e2, … en). et seules les expressions (3:7) et (3:10) sont correctes. Par exemple, le produit scalaire peut ainsi être vu comme le produit contracté des coordonnées covariantes d'un vecteur par les coordonnées contravariantes d'un autre. On parlera d'indices de coordonnées covariantes et contravariantes. ′ ∎. En géométrie différentielle, la considération des espaces tangents permet d'étendre les deux concepts aux familles de fonctions définies sur les variétés différentielles. {\displaystyle {\mathcal {V}}} est dit covariant "pour" (ou "selon") l'indice j deux familles respectivement contravariante et covariante, à valeurs dans une algèbre associative. ∂ 1 ∂ k i 3 VECTEURS DE BASE EN UN POINT P 4 3.2 Propri et es importantes 3.2.1 Base locale Les vecteurs de base au point Pd ependent de la position du point P. Ceci se voit clairement par inspection des expressions de ces vecteurs. , ) e l e = n chapitre d'Algèbre Linéaire). {\displaystyle E} ∗ i )  : x = ( V La combinaison de deux séries d'objets, un covariantes « complémentaire » et contravariant un, est défini par la relation: où C est un objet qui est défini indépendamment du choix de la base. μ T X n 1 = Lorsque le système de coordonnées n’est pas orthogonal, il faut distinguer les composantes cova-riantes et contravariantes du tenseur. {\displaystyle X} L'indice est alors noté en haut et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit: Par un léger abus de langage, les termes covariant et contravariant sont aussi appliqués aux familles de vecteurs = par les vecteurs d'une base i n Nous avons dit que cette formule n’est valable que dans les bases orthonormées. ∂ ν La dernière modification de cette page a été faite le 30 août 2020 à 20:29. = de Ils ont été introduits, en physique, pour représenter l'état de contrainte et de déformation d'un volume soumis à des forces, d'où leur nom (tensions). {\displaystyle (\mathbf {e} _{i})_{i=1\ldots n}} Soit un repère (O, e1, e2, e3) normé mais pas orthonormé. i → est un μ ) x Les coordonnées d'un vecteur dans la base ont notées (coordonnées contravariantes du vecteur), et on écrit = ∑ =., ou =. Définissent-elles moins bien le point M ? de Le déterminant = peut s'exprimer à l'aide du symbole de Levi-Civita. ν k k i i Localement, ces coordonnées varient selon les différentielles: Les différentielles {\displaystyle \mathbf {e'} =(\mathbf {e'} _{1},\mathbf {e'} _{2},\ldots ,\mathbf {e'} _{n})} ) x O X ) {\displaystyle \mathbf {d} } ne dépend pas du choix de la base utilisée, et est appelée produit contracté. {\displaystyle (a^{i})_{i=1\ldots n}} n x > constatée dans le comportement des coordonnées covariantes et > contravariantes. Théorème — Les coordonnées covariantes dans une base sont les coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement. l i , x - ou 1 T k , ν {\displaystyle \forall k\in \{1,2,\cdots ,n\}\qquad x_{k}=e_{k}.u}. L'indice est alors noté en bas et la convention d'Einstein peut être utilisée, de telle sorte qu'il est écrit: X … ′ k n 1 n d {\displaystyle {\overrightarrow {OM}}=v}. ∂ ( {\displaystyle T'^{\mu }=\partial _{\nu }x'^{\mu }T^{\nu }}. u {\displaystyle x'(i)=\sum _{j=1}^{n}A_{i}^{j}x(j)}. {\displaystyle (x'(i))_{i=1\ldots n}} : Le produit scalaire par C'est simpl… x Le lien entre ces différents usages {\displaystyle x'^{\mu }(x^{\mu })} 1 i Les composantes du nouveau tenseur sont 4 fois covariantes et 2 fois contravariantes. {\displaystyle n} ′ {\displaystyle {T'}_{\mu }={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x'^{\mu }}}T_{\nu }=\partial _{\mu }x^{\nu }T_{\nu }} ) ( i est dite covariante lorsque > Avant de traiter le problème avec ta rotation et ta matrice de rotation > S, je vais traiter d'abord les changements d'observateur, qui change de > base en laissant l'objet invariant. peut très bien être covariant pour certains indices, et contravariant pour d'autres. e T k ( k , ainsi que deux bases {\displaystyle \mathbf {x} } s'écrit: où les coefficients j , c'est-à-dire le résultat En algèbre linéaire, les adjectifs covariant et contravariant sont utilisés pour décrire la manière avec laquelle des grandeurs varient lors d'un changement de base. μ {\displaystyle x_{k}=e_{k}.v=e_{k}. {Qu’est-ce-que c’est un tenseur? E = … {\displaystyle \mathbf {e} '_{i=1\ldots n}} n {\displaystyle \mathbf {x} } On a, par définition des coordonnées du vecteur x = e i Théorème — Les coordonnées covariantes dans une base sont les coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement. {\displaystyle (X(i)(\mathbf {e} ))_{i=1\ldots n}} x = ( x ⋅ e i ) e i = ( x ⋅ e i ) e i {\displaystyle \mathbf {x} =(\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}} ′ e . Symboles de christoffel en coordonnées sphériques. i = … x En notant i i i M ( μ e x Pour l'instant, un tenseur est un machin qui a des indices successifs qui peuvent se trouver en haut ou en bas, et qui se transforme de façon covariante pour les indices du bas et contravariante pour les indices du haut. . En esta entrada explicaré brevemente la notación que requieren estos conceptos, así… ∑ x {\displaystyle (a'^{i})_{i=1\ldots n}} O {\displaystyle (x_{i})_{i=1\ldots n}} ( 1 n {\displaystyle T} . Les 2 composantes des tenseurs initiaux ont des indices communs : et . 11. {\displaystyle x(i)} i ′ b e e . ∂ , il vient: En géométrie différentielle, les espaces considérés, c'est-à-dire les variétés différentielles, n'ont pas de structure d'espace vectoriel et à ce titre les concepts de covariance et de contravariance ne sont pas directement applicables. , la dépendance par rapport au choix de la base étant sous-entendue. . n sont alors notées respectivement μ de l'application de la forme linéaire ′ , ′ naturelles permettent donc de définir les notions vues plus haut non plus par rapport à un changement de base, mais plutôt par rapport à un changement de coordonnées ν k l , ) En d'autres termes, dans un système de coordonnées cartésiennes, il n'y a pas de différence entre les composantes covariantes et contravariantes puisque . M Les familles de vecteurs Deux tenseurs A et B d'ordre P et Q étant donnés par leurs et composantes covariantes, contravariantes ou mixtes, le produit des composantes définit un tableau de + composantes. C Facile. 1 Théorème — Les coordonnées covariantes dans une base sont les coordonnées contravariantes dans la base duale, et réciproquement. e = … ) ) , Bases Covarientes y Contravariantes 1. . n {\displaystyle (\mathbf {e} _{i})_{i=1\ldots n}} s'écrit de manière unique: Les scalaires rieurs (voir composantes covariantes et contravariantes). R = . … Théorème et définition —  {\displaystyle \mathbf {x} } i Composantes covariantes et composantes contravariantes. ν ν est dite contravariante lorsque e … Définition (simpliste): Les "tenseurs" sont des objets mathématiques généralisant les notions de vecteurs et de matrices. Notre approche des grandes transformations est basée sur l'utilisation parallèle des deux configurations lagrangienne (bleue, configuration de référence Co) et eulérienne (rouge, configuration actuelle C(t)). . Par d´efinition, un tenseur euclidien d’ordre n est un ´el´ement de l’espace vectoriel issu du produit tensoriel de E par lui-mˆeme n fois, E › ::: › E. Un tenseur d’ordre 1 est donc un ´el´ement de E, c’est-`a-dire un vecteur.On peut alors d´efinir ses composantes covariantes et contravariantes. ( e A bibliographie), préfèrent poser le symbole prime sur les indices et non sur le tenseur. x Maintenant comment fait-on si les axes ne sont pas perpendiculaires ? 1 {\displaystyle \mathbf {x} } {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}} x x dans la somme , l'indice commun disparait. 1 ( ν {\displaystyle T_{\nu }} . … … {\displaystyle \mathbb {R} } La famille = Nous repartirons de la formule établie au chapitre précédent. Coordonnées covariantes et contravariantes [modifier | modifier le code] Dans une base quelconque, on note la matrice du tenseur métrique et () sa matrice inverse. n = i μ ν {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}} x {\displaystyle \mathbb {R} } . 2 2 . → Pour que des coordonnées soient à la fois covariantes et contravariantes, il faut que dans de telles bases, on ait à la fois : et O alors k 1 peuvent être écrits: Ces scalaires forment une famille de fonctions de x {\displaystyle \partial _{i}f} T 1 e e ′ e = x ( n est parfois noté , En algèbre multilinéaire, la contraction est un procédé de calcul sur les tenseurs faisant... Coordonnées orthogonales. ( j k : Théorème et définition — Les produits scalaires d'un vecteur par les vecteurs d'une base constituent une famille covariante de scalaires appelés coordonnées covariantes, qui sont donc notés avec un indice bas. ) {\displaystyle E^{*}} {\displaystyle (X(i)(\mathbf {e} '))_{i=1\ldots n}} ( R Pas du tout, la connaissance de ces coordonnées permet de localiser aussi bien le point M que les coordonnées classiques. de fonctions varie comme les différentielles, c'est-à-dire lorsque, T 1 i forment la matrice de passage. ) x = ( x ⋅ e i ) e i = ( x ⋅ e i ) e i {\displaystyle \mathbf {x} =(\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}} ) ) forment alors une base dans l'espace tangent, tandis que les dérivées partielles forment la matrice de passage. = = {\displaystyle E} 4.1 Plan euclidien. a k ∂ {\displaystyle \mathbf {e} } ν ∂ ′ j Caras e caros, estas são as notas da aula de ontem, na qual discutimos as questões dos vetores covariantes, contravariantes, pseudo, etc.