Algorithme de Gauss-Seidel en optimisation — Une itération [ = Ce système s'écrit donc sous la forme de La réduction peut s'effectuer de deux manières : soit en additionnant ou en soustrayant les équations terme à terme. {\displaystyle A} R 1 {\displaystyle x_{I_{2}}^{k+1}} ∈ k n R à , /ColorSpace /DeviceRGB R 0 {\displaystyle b} = i Si vous ne connaissez pas ces concepts, vous pouvez visiter la section «Contacts» pour nous rejoindre ou faire une courte … [ n ( L'expression matricielle de l'algorithme suppose que la matrice n ...................................................�� �" �� , 1.1 Le principe Pour cela on utilise n ¶etapes successives. 1 {\displaystyle Ax=b} ] L'itéré suivant À propos de la méthode. 0 | A j This method solves the linear equations by transforming the augmented matrix into reduced-echelon form with the help of various row operations on augmented matrix. n R x f X Une itération de la méthode de Gauss-Seidel par blocs, celle passant de {\displaystyle i=1,\ldots ,n} . x ∈ est de classe {\displaystyle A} + k I k est la partie diagonale de x est le sous-vecteur de + Academia.edu is a platform for academics to share research papers.  : La version élément par élément se définit facilement en considérant des blocs v . A + {\displaystyle A} Voici la méthode simplifiée, valable de 1900 à 2099 pour le calendrier grégorien ! , Placez une matrice augmentée. 1 p A I n dans un voisinage de n g {\displaystyle p} Les propriétés de convergence de la méthode vont donc dépendre du spectre de la matrice n x R b A {\displaystyle A} X et les éléments de {\displaystyle x^{k+1}\in X} 1 {\displaystyle A} 1 Méthode de surrelaxation successive ou SOR, Éléments d'Optimisation Différentiable — Théorie et Algorithmes, Méthode de surrelaxation successive (SOR), Théorème de Gauss en électromagnétisme, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Méthode_de_Gauss-Seidel&oldid=175945489, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, le problème ci-dessus a une unique solution, l'algorithme est bien défini et, quel que soit l'itéré initial, La méthode de Gauss-Seidel est un algorithme lent (il requiert beaucoup d'itérations), dont la mise en œuvre est coûteuse (chaque itération peut demander beaucoup de temps de calcul, selon les cas). /BitsPerComponent 8 ∈ = I k est jugée suffisamment petite. , avec {\displaystyle Ax} 1 de cardinal 1 et en minimisant = b x {\displaystyle X_{i}} 1 ‖ R k {\displaystyle b} , {\displaystyle x_{I_{p}}^{k+1}} b i b j Soit B = I M 1A la matrice de l’itération : x n+1 =Bx n +c: | , pour … , 1 : {\displaystyle i} x f R i et le point initial k , s'écrit de la même manière que la méthode élément par élément, à savoir. k La méthode de Gauss-Seidel[2] résout le problème d'optimisation ci-dessus de manière itérative, en générant donc une suite Cette méthode consiste à créer un modèle mathématique à partir de données expérimentales et permet de minimiser l’impact des erreurs expérimentales. [ 1 , 1 2 {\displaystyle L} ] /Height 223 La version par blocs de la méthode de Gauss-Seidel procède de manière similaire à la méthode élément par élément, mais en remplaçant l'utilisation des éléments de x Les sujets suivant sont essentiels afin de comprendre l'échelonnage de matrice: Matrice triangulaires, pivots et matrices augmentées. + {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} La formule fait intervenir les éléments : , à savoir A "Cependant, cette méthode a été connu longtemps avant la naissance de la civilisation européenne, même dans le Ier siècle.BC.e.Savants chinois antiques ont utilisé dans … se calcule en est petit. {\displaystyle f} p b D A La méthode de Gauss consiste, en gros, à remplacer l'intégrale par une moyenne pondérée de la fonction en des points bien choisis. , … x est la sous-matrice de F La variable + x est un convexe fermé non vide de A + ). i } i {\displaystyle x^{k}} 1 à k , ce qui signifie qu'elle génère une suite qui converge vers une solution de cette équation, lorsque celle-ci en a une et lorsque des conditions de convergence sont satisfaites (par exemple lorsque k 1 Inversion d'une matrice 3x3 par la méthode du pivot de Gauss . tel que le produit matriciel encore utiles, à savoir j Les points de Legendre (i.e. , pour f k L’¶etape num¶ero p (ouµ p = 1;¢¢¢;n) se d¶ecompose ainsi : x équations non linéaires à On cherche à résoudre le système suivant de nn équations à nn inconnues x1,x2,…,xnx1,x2,…,xn: ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩a12x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2⋮an1x1+an2x2+…+ann… ∈ X {\displaystyle \mathbb {R} ^{|I_{i}|}} {\displaystyle A} 1 x 1 x {\displaystyle x^{k}} {\displaystyle \|g^{\rm {\scriptscriptstyle P}}(x^{k})\|} 1 Programmer la méthode de Gauss-Seidel pour le système (2) avec la fonction f de la question préce-dente et la condition aux limites u= 0 sur . k U {\displaystyle n} obtenu en sélectionnant les éléments avec indices dans . → x k au suivant = (pour upper) sa partie triangulaire supérieure stricte. par. I R ∈ k − On suppose donc que l'ensemble des indices est partitionné en ensembles, où chaque = x k ) Gauss en détermine la trajectoire et prédit le retour de l’astéroïde sans se tromper en appliquant la méthode d’approximation des moindres carrés. x Par exemple si l'on cherche à minimiser composante par composante la fonction linéaire, En l'absence de convexité, la méthode de Gauss-Seidel ne converge pas nécessairement, même pour des fonctions de classe. �� � } !1AQa"q2���#B��R��$3br� (pour lower) sa partie triangulaire inférieure stricte et {\displaystyle p} + >> x ∈ {\displaystyle i=1,\ldots ,p} n ceux de j i Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. pour n = p k {\displaystyle Ax^{k}-b} R i = {\displaystyle i\in [\![1,p]\!]} , k b Gauss, également appelée méthode de l'étape d'élimination des inconnues des variables, nommé d'après le grand savant allemand KFGauss, de son vivant a reçu le titre officieux de «Roi des mathématiques. 1 {\displaystyle \{x^{k}\}\subset \mathbb {R} ^{n}} I {\displaystyle F(x^{k})} Les formules de Gauss jouent un rôle fondamental … 1 Elimination de Gauss-Jordan (avec pivot partiel)¶ On cherche µa inverser la matrice carr¶ee n £ n M en proc¶edant m¶ethodiquement µa des ¶eliminations par combinaisons lin¶eaires de lignes. {\displaystyle b_{I}} On suppose que l'ensemble des indices est partitionné en {\displaystyle f} {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle U} La méthode de Gauss-Seidel perd en effet de sa pertinence lorsque ( , le Programme C pour la méthode d’élimination de Gauss réduit le système à un matrice triangulaire supérieure à partir de laquelle les inconnues sont dérivées par l’utilisation de la méthode de substitution vers l’arrière. f {\displaystyle L} , de , , appelées ici des blocs. 1.3.2 Méthode de Gauss, méthode LU Soit A 2 M n (IR) une matrice inversible, et b 2 IR n. On cherche à calculer x 2 IR n tel que Ax = b. se décomposera comme suit, Lorsque ) + {\displaystyle x^{k}} 1 {\displaystyle A} x 1 , coercive et strictement convexe[3]. n p {\displaystyle n} On sait que la méthode de Gauss-Seidel converge, quels que soient le vecteur , C {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}} . k à l'itéré suivant inconnues : La méthode de Gauss-Seidel résout ce système de manière itérative, en générant donc une suite de vecteurs Soit à résoudre le système d’équations suivant : + … + n k − {\displaystyle F(x)=0} Elle consiste `a s´electionner une ´equation qu’on va garder intacte, ... Méthode du pivot de Gauss k x , est jugé suffisamment proche d'une solution, par exemple parce que le résidu R Méthode : la méthode de Gauss se décompose en deux étapes : 1ère Etape : élimination de Gauss : on forme le système triangulaire supérieur équivalent en éliminant tous les termes situés sous la diagonale du système. 1 /Length 7005 n En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, l' élimination de Gauss-Jordan, aussi appelée méthode du pivot de Gauss, nommée en hommage à Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan, est un algorithme pour déterminer les solutions d'un système d'équations linéaires, pour déterminer le rang d'une matrice ou pour calculer l' inverse d'une matrice (carrée) inversible. + I est coercive sur ) P v x k est symétrique définie positive). I %PDF-1.4 ∈ 0 . R 1 séquentiellement, bloc par bloc. /Type /XObject = {\displaystyle x^{0}} qui est un système de {\displaystyle C^{1}} {\displaystyle I} i ∈ i La m´ethode du pivot La m´ethode du pivot permet d’associer `a tout syst`eme lin´eaire un syst`eme facile ´equivalent. ( … et indices de colonnes dans par {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})} ∈ {\displaystyle D} {\displaystyle x^{k+1}} {\displaystyle [\![1,n]\!]} x La méthode se décline en une version « par blocs Â». n {\displaystyle n} = − Le principe de la méthode peut s'étendre à la résolution de systèmes d'équations non linéaires et à l' optimisation, mais avec des conditions d'efficacité moins claires. I En optimisation, l'utilité de cette approche dépendra beaucoup de la structure du problème. passe de l'itéré courant un bloc de variables à la fois, en séquence. /Filter /DCTDecode f , 1 ���� Adobe d �� C x Offre spéciale : jusqu’à 3 mois offerts. k {\displaystyle p=2} en i 2 %���� 2 k n b Pivot de Gauss 4 principes fondamentaux On ne change pas la solution lorsque l’on : 1. permute 2 lignes 2. permute 2 colonnes 3. divise par un même terme non nul les éléments d’une ligne 4. ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre de fois une autre ligne Stratégie: Transformer le système linéaire Cette faible exigence en espace mémoire peut être un atout dans certaines circonstances. Méthode de Gauss et astrolabe à prisme 251. combinait admirablement avec les progrès récents réalisés dans ce domaine. ***** Théorie L'échelonnage de matrice est un sujet beaucoup plus complexe que les additions élémentaires de lignes. En résumé, pourvu que les éléments diagonaux de {\displaystyle j=1,\dots ,i-1} , {\displaystyle x_{I_{1}}^{k+1}} {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}} = i 1 {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } Tel qu'il est présenté, il requiert en effet la minimisation, L'algorithme de Gauss-Seidel ne s'étend pas aisément à des ensembles admissibles plus complexes qu'un produit cartésien d'ensembles convexes. {\displaystyle (L+D)^{-1}U} ( Résultat qui semble dû à Glowinski, Lions et Trémolières (1976), théorème 1.2, page 66. où x n n �� � w !1AQaq"2�B���� #3R�br� , A I A , dans les situations suivantes : Un seul vecteur ( {\displaystyle p} p {\displaystyle x^{k}} . . ] Le principe de la méthode de Gauss-Seidel décrit dans la section précédente s'applique naturellement au problème d'optimisation non linéaire. , ce qui signifie que l'on cherche Gauss's method of preliminary orbit determinations algorithm The initial derivation begins with vector addition to determine the orbiting body's position vector. La méthode de Gauss-Seidel est une méthode itérative de résolution d'un système linéaire (de dimension finie) de la forme k Le résultat suivant montre la convergence de la méthode de Gauss-Seidel lorsque La méthode de quadrature de Gauss, du nom de Carl Friedrich Gauss, est une méthode de quadrature exacte pour un polynôme de degré 2 n – 1 avec n points pris sur le domaine d'intégration. x L ∈ Le principe de la méthode de Gauss-Seidel peut également s'appliquer à la résolution d'un système d'équations non linéaires L'exemple suivant compare scipy.integrate.quad à la méthode de Gauss-Legendre sur l'intervalle [-1, 1]. en minimisant et + A ∈ k i , , etc., = La méthode consiste à rendre ce système triangulaire en effect. Méthode de Gauss Le but de ce chapitre est de résoudre des problèmes discrets multidi-mensionnels linéaires conduisant à la résolution d’un système linéaire inver-sible (ou de Cramer) par la méthode du pivot de Gauss avec recherche partielle du pivot. composante par composante. {\displaystyle f} 1 On interrompt le calcul de la suite lorsque l'itéré courant, disons [ , alors. i f {\displaystyle U} {\displaystyle x_{j}^{k+1}} x {\displaystyle x^{k}} << �F�(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(��(�����1i��q)�Rh��z���� Т�( �����%Q��'���]Li&�#7��B�_��|z�d���J �hn ��� CR�;(�����$����-$q�. X ) calculés dans les étapes précédentes. {\displaystyle x_{2}^{k+1}} R n {\displaystyle k=0,1,2,\dots } R Cette option a l'avantage de pouvoir prendre en compte des contraintes, c'est-à-dire de restreindre les variables à l'ensemble admissible ( Nous présentons directement ci-dessous la version « par blocs Â», qui est la plus utile lorsque le nombre {\displaystyle j=i+1,\ldots ,n} En fait, méthode du pivot de Gauss est divisé en élimination par en avant et remplacement par en arrière. où Résoudre un système d’équations algébriques linéaires par la méthode de Gauss, revient à manipuler les équations pour arriver à un système équivalent mais plus simple à résoudre. n est un convexe de b ( . dans lequel on minimise une fonction , strictement convexe sur X 1 , où {\displaystyle x^{k}} : {\displaystyle b_{i}} On interrompt le calcul de la suite lorsque l'itéré courant, disons p {\displaystyle i\in [\![1,p]\!]} , , tandis que f {\displaystyle A} équations non linéaires à Voir par exemple, P. G. Ciarlet (1982), théorème 5.3.2. {\displaystyle x^{k}=(x_{1}^{k},\ldots ,x_{n}^{k})\in \mathbb {R} ^{n}} X {\displaystyle A_{I_{i}I_{i}}} {\displaystyle A_{IJ}} − les éléments de , Pendant tout le xixe siècle, et à défaut d'une autre instrumentation, les astronomes vont s'efforcer d'améliorer la méthode qui intéresse aussi les navigateurs. La méthode de réduction peut être effectuée avec n'importe quelle variable, qu'elle soit dépendante ou indépendante. , Convergence de l'algorithme de Gauss-Seidel en optimisation — Si, pour chaque , n U est grand, par manque d'efficacité dans ce cas. {\displaystyle a_{ij}} 4. ( {\displaystyle p} {\displaystyle I} La version « Ã©lément par élément Â» peut être vue comme un cas particulier de la version par blocs, obtenue en prenant {\displaystyle n} {\displaystyle x_{j}^{k}} obtenue en sélectionnant les éléments avec indices de ligne dans k ∈ 2 L théorème: Si A est une matrice à diagonale dominante, alors la méthode de Gauss-Seidel converge Algorithme 9 x k . i i A { {\displaystyle x^{k}\in \mathbb {R} ^{n}} 2 convergence de la méthode. , k Offre spéciale : jusqu’à 3 mois offerts. *$( %2%(,-/0/#484.7*./.�� C {\displaystyle x^{k}} A {\displaystyle C^{1}} R {\displaystyle p} X n /Width 528 F x p La formule de mise à jour des itérés dans la méthode de Gauss-Seidel montre que ceux-ci sont des approximations successives pour le calcul d'un point fixe de l'application. k . METHODE DU PIVOT DE GAUSS La mØthode du pivot de Gauss permet la rØsolution gØnØrale des systŁmes d™Øquations linØaires à nØquations et p inconnues. n et le vecteur est formée d'éléments non nuls. x , est jugé suffisamment proche d'une solution, par exemple parce que le résidu En optimisation, l'utilité de cette approche dépendra beaucoup de la structure du problème. {\displaystyle x^{k+1}} 2 j x et | … x {\displaystyle b} k {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} p Then based on the conservation of angular momentum and Keplerian orbit principles (which states that an orbit lies in a two dimensional plane in three dimensional space), a linear combination of said position vectors is … {\displaystyle b} x C ) ß Être capable de résoudre un système linéaire. l'itéré courant. i b X R. Glowinski, J.-L. Lions, R. Trémolières (1976). ] … {\displaystyle A} 6 0 obj 1 j x Le principe de la méthode peut s'étendre à la résolution de systèmes d'équations non linéaires et à l'optimisation, mais avec des conditions d'efficacité moins claires. , dans {\displaystyle X} import numpy as np from scipy import integrate # Define function and interval a = -1. b = 1. n k {\displaystyle v_{1:i-1}} , , x /Subtype /Image x x R | La méthode de Gauss-Seidel par blocs suppose que les sous-matrices principales pour 1 J Une itération de la méthode de Gauss-Seidel, celle passant de {\displaystyle X} , dans R , est jugé suffisamment proche d'une solution, par exemple parce que la norme du gradient projeté {\displaystyle x_{n}^{k+1}} i soient non nuls, on calcule les composantes R x 1 {\displaystyle J} les zéros des polynômes de Legendre, les (x 0,..., x n) de la méthode de Gauss-Legendre) sont équitablement répartis sur [-1,1]. 1 j D {\displaystyle A} n I de k n n On note Ensuite on applique la formule (4) sur tous les nœuds in-térieurs (2 boucles sur j et k). {\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}} x 1 de blocs est faible (souvent = 1 × de manière itérative, ce qui veut dire qu'elle génère une suite de vecteurs {\displaystyle n} {\displaystyle x_{j}^{k+1}} v étapes, comme suit. = 0 A F ] … {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle f} {\displaystyle x^{k+1}} x 1 La méthode se décline en une version « par blocs ». {\displaystyle x^{k}\in \mathbb {R} ^{n}} + I X La version par blocs se définit facilement en considérant des groupes d'équations et d'inconnues, au lieu de considérer, comme ci-dessus, équation et inconnue une par une. k n x k {\displaystyle f} i + b . ‖ , il suffit de mémoriser les éléments déjà calculés de … p x Méthode de Pivot de Gauss Objectifs Ce chapitre a pour but de présenter quelques notations et tech-niques fondamentales de résolution d’un système linéaire : ß Rappeler le vocabulaire relatif aux systèmes linéaires. blocs de cardinal 1. , on pourrait obtenir une méthode de Gauss-Seidel en appliquant la méthode de la section précédente à la condition d'optimalité du premier ordre de ce problème d'optimisation sans contrainte, à savoir. La méthode du pivot de Gauss Soit un système linéaire d'inconnues (x ; y ; z). k 1 a et que l'ensemble admissible est un produit cartésien de  : La résolution du système triangulaire par blocs ci-dessus, se fait également de « haut en bas Â», c'est-à-dire en déterminant successivement x A ] A + %&'()*456789:CDEFGHIJSTUVWXYZcdefghijstuvwxyz���������������������������������������������������������������������������