La dernière modification de cette page a été faite le 13 octobre 2020 à 20:57. ‖ Cette propriété intervient dans les problèmes où l'on cherche à obtenir des objets parcimonieux par minimisation du rang (en compression d'images par exemple). sur un ordinateur peut mener à des erreurs de dépassement ou de soupassement pour des valeurs extrêmes (très grandes ou très petites en valeur absolue) : l'étape intermédiaire d'élévation au carré peut mener à des résultats non représentables selon la norme IEEE 754, et donc à un résultat final de 0 ou « infini », alors même que le résultat final est lui-même représentable. De nition 2.3 On appelle norme matricielle une norme d e nie pour des matrices carr ees qui v eri e, en plus de la d e nition 2.1, la relation kABk kAkkBk. N {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} → {\displaystyle {\mathcal {N}}':=C{\mathcal {N}}} (et au moins l'une des valeurs vaut exactement 1), donc le contenu de la racine est compris dans l'intervalle {\displaystyle {\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}} Description : Le calculateur de vecteur permet de déterminer la norme d'un vecteur à partir de ses coordonnées.Les calculs sont faits sous forme exacte, ils peuvent faire intervenir des nombres mais aussi des lettres. n Changements de base orthonormale. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 *** Pour A = (a i;j) 16i;j6n 2M n(R), N(A) = Tr(tAA). 1.4. ∞ est défini car l’ensemble est borné et , donc . Ce qui signifie que tout point admet une base de voisinages convexes, par exemple les boules ouvertes centrées en ce point. {\displaystyle \operatorname {tr} } un point de K×E et + ‖ Exercice 5. M1. {\displaystyle (\lambda ,x)} , Calcule llAll 2 pour une matrice … La sous-additivité permet d'obtenir la propriété suivante : La norme est aussi, comme toute semi-norme, une. , m ) Analyse matricielle, Normes 2.1. x ‖ I 2 A Corrigé de l’exercice 1 : Question 1 : On sait que est une norme sur . un vecteur x Dans ce cas, il faut montrer qu’il existe un produit scalaire défini sur vérifiant . x Commencer par démontrer que est bien défini et que (attention quand est défini en utilisant une borne supérieure, un maximum ou la somme d’une série). ‖ , | A Question 1 Montrer que est une norme sur . … 7. identité du parallélogramme. G´eom´etrie euclidienne 15.5. … A ‖ K A Or et sont des matrices symétriques, donc elles sont diagolalisables par le théorème spectral; soient et les matrices diagonalisées de resp. = . L'anti-slash représente la division matricielle à gauche. Posté par . Dans tous les ouvrages, on nomme la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^2$ de $x$ par la racine de la somme de ses composantes au carré. forment une famille orthonormale ou non. A ≤ max Résumé : Le calculateur de vecteur permet le calcul de la norme d'un vecteur en ligne. ‖ 2 x I ‖ La norme de Frobenius sur La distance d associée à la norme (cf. de Kn, l'application décroissante p ↦ ║ ) ⋅ ‖ + ] h ) sur E à valeurs réelles et satisfaisant les hypothèses suivantes : Un espace vectoriel muni d'une norme est appelé espace vectoriel normé (parfois abrégé en EVN). F {\displaystyle E} ∞ {\displaystyle (\mu ,h)} x → [ → , à dire que la biconjuguée de la fonction Description. un accroissement, alors, si On a les propriétés suivantes 1. λ Il existe une matrice triangulaire supérieure R et une matrice orthogonale Q telles que PREUVE: On introduit un espace euclidien de dimension n et une base orthogonale pour le produit scalaire de E. Soit une base de E telle que A est la matrice de passage de à . 2 Norme hilbertienne ... 6 Hyperplans affines d’un espace euclidien ..... page 30 6.1 Projeté orthogonal d’un point sur un hyperplan affine ..... page 31 6.2 Lignes de niveaux de l’application M 7→ h −−→ AM,−→ni ..... page 31 6.3 Projeté orthogonal d’un point sur un hyperplan affine. → x 6. {\displaystyle A} Un espace vectoriel normé réel est localement convexe. ci-dessus) munit E d'une structure d'espace métrique, donc d'espace topologique séparé. 1. {\displaystyle (E,T)} m {\displaystyle \|AB\|_{F}\leqslant \|A\|_{F}\,\|B\|_{F}} ⩽ ‖ En effet, comme la convexité est conservée par translation et homothétie, il suffit de montrer cette propriété pour la boule ouverte unité. A {\displaystyle A^{*}} Calcul de la distance de la matrice A = 1 0 −1 2! F est différentiable sauf en zéro où B https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Norme_matricielle&oldid=175630497, Article contenant un appel à traduction en allemand, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. On définit . D'autres exemples apparaissent classiquement : Notons qu'une mise en œuvre « naïve » de la formule R {\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{A\in \mathrm {M} _{m,n}(K)\mid \|A\|\leqslant 1\}} ∣ {\displaystyle \|\cdot \|_{F}} ∈ M B . ‖ Le mot « infini » est le nom de la norme et non un adjectif qualificatif. norm(x,1) renvoie. Tout corps supporte la valeur absolue constante égale à 1 en dehors de 0. B Si x et y sont deux points de cette boule et si θ est un réel compris entre 0 et 1, alors : La propriété suivante est donc vérifiée : Propriété —  {\displaystyle \partial (\|\cdot \|_{F})(0)} La norme usuelle dans le plan ou l' espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne. {\displaystyle \operatorname {rg} +{\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}:\mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\to {\overline {\mathbb {R} }}} | 1 La norme de Frobenius peut s'étendre à un espace hilbertien (de dimension infinie) ; on parle alors de norme de Hilbert-Schmidt ou encore norme 2 de Schatten. Pour éviter ceci, on peut factoriser ) Les corps des réels et des complexes ne sont pas les seuls à admettre une valeur absolue. x La norme de Frobenius est souvent notée. … ‖ → M {\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{\infty }\leq \|{\vec {x}}\|_{p}\leq n^{\frac {1}{p}}\|{\vec {x}}\|_{\infty }} {\displaystyle \|(\mu ,h)\|_{K\times E}\leq \varepsilon \leq 1} {\displaystyle A\in \mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )} Comme on passe d'une forme bilinéaire symétrique à une forme quadratique et réciproquement, ce sera la même matrice. ′ E Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si elle vérifie :, où I est la matrice identité.. Propriétés des matrices orthogonales. Puisqu'une norme sur un espace vectoriel Soient (x, y) un point de E×E et (h, k) un accroissement, alors : La majoration précédente montre que l'addition est 2-lipschitzienne donc uniformément continue. Lorsque K est le corps des réels, cela revient, en notant ‖ ‖ désigne la matrice adjointe de la norme l_1 de x (la plus grande somme suivant les colonnes : max(sum(abs(x),'r'))). , chaque N A On peut trouver l’expression de en utilisant l’une des deux i… tr Une s´emi-norme sur un espace vectoriel E est la donn´ee d’une application N : E → R v´erifiant deux axiomes (X,Y vecteurs de … → donné . 14 2. {\displaystyle {\mathcal {N}}_{2}} » (espace vectoriel topologique), c'est-à-dire que : Proposition —  )  : La dernière majoration montre l'uniforme continuité de la multiplication externe sur toute boule de K×E de centre 0 et rayon M, donc la continuité sur K×E. x … norme_vecteur en ligne. E 2) Si la norme est euclidienne, montrer que si u,v∈ Bavec u6= v, alors ]u,v[ ⊂ ˚B. n et même d'espace localement convexe (voir infra) séparé, on peut se demander si la topologie En particulier, la norme euclidienne associée au produit scalaire ou hermitien canonique est définie par ‖ ‖ = ∫ | | . I est la restriction à cette boule de la norme nucléaire. La question se pose dans le cas de deux normes {\displaystyle A} sont deux points du plan ou de l'espace usuel, la norme du vecteur {\displaystyle {\mathcal {N}}'(x\times y)\leq {\mathcal {N}}'(x){\mathcal {N}}'(y)} , ce qui empêche les dépassements et soupassements si le résultat final est représentable. {\displaystyle T} μ La norme « infini » ou norme sup ou encore norme de la convergence uniforme s'écrit quant à elle ‖ ‖ ∞ = ∈ [,] | | et s'obtient là aussi comme limite des normes p lorsque p tend vers l'infini. . R ∂ {\displaystyle \sigma (A)} {\displaystyle \|I_{n}\|_{F}={\sqrt {n}}} ‖ | La norme euclidienne n'est pas llAll 2 (subordonnée) que tu écris: c'est la racine carrée de la somme des carrés de tous les termes de la matrice =/= llAll 2. Normes vectorielles, matricielles. peut être induite par une éventuelle norme sur [6],[7]. } | B linalg. {\displaystyle \operatorname {rg} ^{**}=0} Montrons maintenant que , soit, par passage au carré (les normes sont positives), , ie . | {\displaystyle \|\cdot \|_{*}+{\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}} ‖ est le vecteur des valeurs singulières de n ( , {\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}} soit sous-multiplicative ( Bonjour, Je dois montrer que, pour une matrice A, les normes matricielles 1,2 et infini majorent max i,j |A ij |. 0 2 La norme, la direction et le sens sont les trois données qui caractérisent un vecteur et qui ne dépendent donc pas du choix du représentant. | ∞ × Ce qui donne : 4.2 Matrice d'une forme bilinéaire symétrique, d'une forme quadratique dans une base. 2 ∈ B n {\displaystyle \operatorname {rg} (A)} ‖ × Le cas de la norme euclidienne des matrices carrées présente un intérêt particulier. De plus, en utilisant , on en déduit q… D´eplacements et antid´eplacements Jean-Michel.Ferrard@ac-lyon.fr www.mathprepa.com 19 mai 2001 Page 1. rg A ⁡ m que l'on appelle parfois la norme spectrale ou encore norme ∞ de Schatten. | la trace. y Isom´etries et matrices orthogonales 15.4.1. {\displaystyle I_{n}} T induit sur {\displaystyle {\vec {x}}} Isom´etries en dimension 1 ou 2 15.5.1. → ‖ ) C'est la norme euclidienne ou hermitienne standard de la matrice considérée comme une collection de Normes matricielle et vectorielle. l'opérateur identité sur l'indicatrice de , et les inégalités sur ces normes, que pour tout A ∈ Mm,n(K) : où Par a ) I Pour la norme 1 et infini j'y arrive, mais je ne vois pas comment faire pour la norme 2. → = Soit A 2 M n (IR) une matrice inversible. Les valeurs très grandes laissent tout de même planer un certain soupçon. ‖ L'image d'un vecteur x par la norme se note usuellement ║x║ et se lit « norme de x ». ( ⩽ + A pedestre norme euclidienne 05-03-12 à 14:34. pour tout , donc pour tous (). { ) au sous-espace vectoriel des matrices triangulaires supérieures. n . sur un même espace vectoriel E, de savoir à quel critère sur les normes correspond une telle comparaison entre leurs topologies associées. Automorphismes orthogonaux 15.4.2. Exercice 1 Soit l’ensemble des suites réelles bornées. ║p est continue sur [1, +∞]. {\displaystyle E} ( {\displaystyle [0,1]} 0 T x ) ≤ Soient K un corps commutatif muni d'une valeur absolue et E un K-espace vectoriel. ) = Il existe une deuxième notion de norme, utilisée en arithmétique : elle est traitée dans l'article « Norme (théorie des corps) ». Une autre méthode est celle de Moler et Morrison. ‖ y B n B C On en déduit que k k est une norme matricielle. ∗ Définissons pour tout p> 1 et tout vecteur x = x 1... x 3 de Cn ||x|| p = Xn i=1 |x i|p! La norme … → est compris dans l'intervalle B ( Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie, Propriétés métriques des droites et plans, Espace vectoriel normé, espace préhilbertien, Valeur propre, vecteur propre et espace propre, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Norme_(mathématiques)&oldid=175549934, Article manquant de références depuis mai 2013, Article manquant de références/Liste complète, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, La norme usuelle (euclidienne) d'un vecteur peut se calculer à l'aide de ses coordonnées dans un, La norme (euclidienne) d'un vecteur peut s'obtenir à partir du, La norme ne s'annule que pour le vecteur nul. Un produit scalaire sur E est une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive sur E ×E. Considérons la fonction réelle fdéfinie par f(t) = (1−λ)+λt−tλ, où λ∈]0,1[. ) {\displaystyle T} x ) {\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{2}=\|{\vec {x}}\|_{\infty }\times {\sqrt {\left|{\frac {x_{1}}{\|{\vec {x}}\|_{\infty }}}\right|^{2}+\ldots +\left|{\frac {x_{n}}{\|{\vec {x}}\|_{\infty }}}\right|^{2}}}} {\displaystyle mn} - Normes, produits scalaires, espaces euclidiens - - Produits scalaires - Normes vectorielles - Normes matricielles - - Exercice 1. Par suite, il existe deux réels strictement positifs α et β tels que αk k 1 6N 6βk k 1. Dans Unicode, la double barre « ‖ » est le caractère U+2016 (distinct du symbole de parallélisme « ∥ », U+2225). Certains auteurs[1] définissent une norme matricielle comme étant simplement une norme sur un espace vectoriel Mm,n(K) de matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans K. Pour d'autres[2], une norme matricielle est seulement définie sur une algèbre Mn(K) de matrices carrées et est une norme d'algèbre, c'est-à-dire qu'elle est de plus sous-multiplicative. {\displaystyle \mathrm {M} _{m,n}(K)} ‖ B Cette construction d'une topologie donne toute son importance à la notion de boule ouverte de centre x et de rayon r, c'est-à-dire l'ensemble des points dont la distance à x est strictement inférieure à r. Toute boule ouverte est l'image de la boule unité (ouverte) par la composée d'une translation de vecteur x et d'une homothétie de rapport r. Les boules ouvertes centrées en un point forment une base de voisinages de ce point ; elles caractérisent donc la topologie. On déduit du lien entre les normes matricielles et les normes vectorielles de R μ E x | → x 2.IV.2. SYSTÈMES LINÉAIRES Dénition 1.29 (Rayon spectral) . × Or cette distance si elle existe bien (même si abstraite et généralise cette notion) dépend donc des coordonnées et donc de facto de la base choisie. , La norme du produit par un nombre est le produit de la norme par la valeur absolue de ce nombre : La réciproque de l'axiome de séparation est vraie. {\displaystyle AB} + K Ici . désigne le rang de ‖ Norme euclidienne. Dans cette section, on note x E ∗ (]u,v[= {(1−t)u+tvtq t∈ ]0,1[}) 3) En déduire que si la norme est euclidienne, toute partie Atelle que ˚B⊂ A⊂ Best convexe. x Lorsque c'est le cas, on dit que l'e.v.t. est normable. ), mais c'est une norme sous-multiplicative : La norme euclidienne des matrices est llAll eucl = tr(A*A) qui est associée à un produit scalaire, sur l'espace des matrices. ‖ R ‖ {\displaystyle \sigma (A)} ) ∞ → Les espaces localement convexes séparés ne sont pas tous normables (par exemple, un espace de Montel de dimension infinie n'est jamais normable). ‖ Analyse numérique I, télé-enseignement, L3 61 Université d'Aix-Marseille, R. Herbin, 15 septembre 2015. 1 La norme p de Schatten (de), due à Robert Schatten, est définie en A ∈ Mm,n(K) par, où