On montre comme dans l’exercice 10 que ce sont trois normes sur R[X]. 14 2. La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne. 1.1.2 Graphe On rappelle que le graphe d’une fonction de R dans R est une courbe de R2. 3) Si Aest hermitienne, ses valeurs propres sont r eelles, et elle est diagonalisable dans une base orthonorm ee. (x)f(x) définit encore une fonction de D dansRp.Sigestunefonctiond’unepartieD0deRp contenantl’imagedefàvaleursdans Rm,alorslacomposéeg f: x7!g(f(x)) estunefonctiondeDdansRm. Ainsi, il existe U2U(n), telle que U 1AU= Dsoit diagonale r eelle. Ces normes sont-elles equivalentes? Montrer en utilisant la d e nition d’un ouvert et d’un ferm e que : 1. (1.4) Correction del’exercice2 N 1.On a par définition B(0;1)=fx 2R;jx 0j=jxj<1g=[ 1;1]: 2.C’est la norme euclidienne sur R2, B 1(0;1) = f(x;y) 2R2; p x2 +y2 = 1gc’est le disque de centre l’origine et de rayon 1. L’ensemble ]a;b[, a0, il existe un rang Ntel que pour n>Non a … f est une distance sur R b. Trouver une condition n ecessaire et su sante portant sur la fonction f pour que f soit induite par une norme. On l’appelle la norme euclidienne (canonique) sur Rn. Et réciproquement. Exercice 2 D'autres normes sont très utilisées sur les espaces vectoriels (de dimension finie ou infinie), appelés alors espaces vectoriels normés. 4) Si de plus Aest sym etrique r eelle, elle est diagonalisable dans une base orthonorm ee de Rn. 2. D emontrer que dn’est pas m etriquement equivalente a la distance euclidienne. 2 Ouverts, ferm es Exercice 6. (cost,sint) est continue sur R. Magali Hillairet 4 Lycée Franklin, Orléans. dist(mat, method = "binary"): les vecteurs sont considérés comme binaires (1 si <> 0, 0 si 0) et la distance entre 2 vecteurs est la proportion de bits où seulement l'un des 2 est allumé sur le … Normes vectorielles, matricielles. Il ne peut pas plus changer de signe. b)Repr esenter la boule unit e, c’est a dire l’ensemble des x2Etels que jjxjj 1. les deux expressions proposés sont des normes en effet elle vérifie toutes les deux la définition d'une norme : la deuxième est la norme euclidienne. Exercice 24. C’est bien sur^ la norme Euclidienne quand on identi e C et R2. L’in´egalit´e triangulaire est une cons´equence de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz x,y 2 ≤ x,x y,y = ||x||2||y||2. Analyse matricielle, Normes 2.1. ||2: Rn−→ R d´efinie par ||x||2 = √ x,x = (∑n k=1 x2 k)1 2 (1.3) est une norme sur Rn. I. NORME EUCLIDIENNE DANS Rm Dans ce qui suit, m désigne un entier égal ... est une fonction continue sur R (à valeurs dans C), l’application g: R ! Produit scalaire et norme euclidienne Exercice 1 On consid ere le plan vectoriel R2 et on pose pour x= (x 1;x 2) et y= (y 1;y 2) : = 2x 1y 1 + x 1y 2 + x 2y 1 + 2x 2y 2: a)Montrer que <;>d e nit un produit scalaire sur R2.