x s 0 1 x − s 5 2 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR ( ) contient une infinité de solutions paramétrées par . ) À l'étape 2.2.3, la première ligne devient. 0 1 0 G pour i = 1 à n sauf k, retrancher à la ligne i. la nouvelle ligne k multipliée par a ik (pour les colonnes de k (ou k + 1) à n. les solutions sont dans la (n + 1) ème colonne (xi = a i,n+1) Calcul de l’inverse d’une matrice. ) Pour la deuxième itération, on permute les lignes 2 et 3, et on divise la nouvelle ligne 2 par 2, soit à l'étape 2.2.3 : Pour la troisième itération, on divise la ligne 3 par 1, la matrice est inchangée à l'étape 2.2.3. + 5 {\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}(1)&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {10}{3}}\\&&&\\0&-{\frac {5}{3}}&{\frac {5}{3}}&{\frac {5}{3}}\\&&&\\0&-{\frac {13}{3}}&-{\frac {8}{3}}&-{\frac {50}{3}}\end{array}}\right)}. G 5 4 50 {\displaystyle \left({\begin{array}{ccccc|c}1&2&2&-3&2&3\\2&4&1&0&-5&-6\\4&8&5&-6&-1&0\\-1&-2&-1&1&1&1\end{array}}\right)} mise sous forme diagonale (Gauss-Jordan) par pivot partiel 15! ( 1 2 2 = 0 0 On calcule . 3 5 + = ( 1 5 1 3 3 − 1 10 On commence par la colonne 1. − − ( On calcule Numériquement, l'implémentation sur ordinateur de cet algorithme donne généralement de mauvaisrésultats (même s'il e… ) ( − 2 1 ) x 0 0 4 3 − 3 4 0 0 Le pivot est le maximum en valeur absolue entre 1, 3 et 2, soit 3 : ( Les pivots sont situés aux colonnes d'indice 1 et 3. On recherche le pivot dans la colonne 1 : On divise la ligne 1 par 2 de sorte que l'on obtienne un 1 sur la diagonale : On modifie les lignes 2 et 3 par combinaisons linéaires avec la ligne 1 de sorte que l'on obtienne des zéros dans la première colonne (hors diagonale) : On recherche le pivot dans la colonne 2 : On divise la ligne 2 par (3/2) de sorte que l'on obtienne 1 sur la diagonale : On modifie les lignes 1 et 3 par combinaisons linéaires avec la ligne 2 de sorte que l'on obtienne des zéros dans la deuxième colonne (hors diagonale) : On recherche le pivot dans la colonne 3 : On divise la ligne 3 par (4/3) de sorte que l'on obtienne 1 sur la diagonale : On modifie les lignes 1 et 2 par combinaisons linéaires avec la ligne 3 de sorte que l'on obtienne des zéros dans la troisième colonne (hors diagonale), la matrice est alors : Le déterminant de la matrice vaut donc x ) ( x 50 Si la matrice A est carrée inversible (autrement dit, le système est de Cramer), alors on obtient dans la dernière colonne l'unique solution X du système. − 0 5 − 1 On passe à la colonne 2. 13 ʊ��Ǥl�ULTb�v��@�ù��*����p�Pu?rh&G�GaC�kHFJ5�0�8Bu0���0K��ȷ0�0�i� 7|�j�&�8�6l�3kB�/�����Ɂٹ3S5��g)Q(XU��Dp�ȫi�O? 5 = 0  : ( Donc. 10 1 1 ) Si les pivots de la matrice échelonnée réduite associée à (A|B) sont situés uniquement dans les m premières colonnes (ce qui est toujours le cas si r = n ) et ont pour indice de colonnes k1, …, kr , alors la dernière colonne fournit une solution particulière, obtenue en prenant tous ses termes nuls sauf ceux situés à la ligne d'indice ki et à qui on donne la valeur du terme situé à la ligne i de la dernière colonne, i variant de 1 à r. On obtient la solution générale du système en ajoutant à cette solution particulière un élément quelconque du noyau de A. Celle-ci s'obtient en donnant des valeurs quelconques aux coefficients de X situés à un indice de ligne autre que les ki, et en déterminant les coefficients situés aux lignes d'indice ki de façon à satisfaire le système (ce qui est facile compte tenu de la forme échelonnée de la matrice). ( La complexité algorithmique asymptotique de l'élimination de Gauss est O(n3) (notations de Landau) : n×n est la taille de la matrice et le nombre d'instructions à réaliser est proportionnel à n3. ( La plus facile est la méthode des cofacteurs qui nécessite au préalable de calculer le déterminant de la matrice, mais aussi la comatrice C (qui est la transposée de la matrice des cofacteurs) : $$ M^{-1}=\frac1{\det M} \,^{\operatorname t}\! ) 5 ) ( En 1810, Carl Friedrich Gauss présente sa méthode des moindres carrés dans un livre étudiant le mouvement de l'astéroïde Pallas[1]. 2 }, ( {\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\&&&\\0&1&0&2\\&&&\\0&0&1&3\end{array}}\right)}. + {\displaystyle B=(O_{s}\circ \ldots \circ O_{1})(\mathrm {I} _{n})=G_{s}\ldots G_{1}.}. − n 10 0 6 ( 3 6 1 2 3 La matrice finale est de la forme [ I | A−1 ] et contient l'inverse de la matrice initiale dans sa section de droite. = z , − ( 0 − ( = × Gauss n'a pas inventé la méthode lui-même. ) 2 5 1 ) L'élimination de Gauss-Jordan peut être utilisée pour inverser une matrice carrée si celle-ci est inversible. 13 3 La solution du système d'équations est donc : { + 0 3 ) ( ( − 13 j 1 − − Si l'un des pivots est nul, alors le déterminant de la matrice est nul et celle-ci n'est pas inversible. ( L'inverse d'une matrice carrée se calcule de plusieurs façons. 5 Dans son commentaire daté de 263, Liu Hui en attribue la paternité à Chang Ts'ang, chancelier de l'empereur de Chine au IIe siècle avant notre ère. − ( ( 1 8 x Click here for some detailed instructions. 5 Chercher un -uplet tel que , c'est résoudre un système linéaire de équations à inconnues. 3 1 5 L™idØe de la mØthode du pivot de Gauss consiste donc à remplacer le systŁme (S) par une matrice faisant intervenir à la fois des coe¢ cients des inconnues et le second membre du systŁme, exactement dans l™ordre dans lequel ils apparaissent. 2 x 2 %PDF-1.2 − 0 3 5 3 Lorsqu'on applique l'élimination de Gauss à une matrice, on obtient sa forme échelonnée réduite. x La matrice échelonnée réduite ainsi obtenue est unique. 2 0 {\displaystyle -{\frac {1}{13}}} x 10 − − 13 13 0 0 x 0 .  : ( 2 1 2 + 4 4 ����c �R��F��+�R�)g�S��RVV�s�Y�U���\��u��uOcv�1464$�aT:�+�d�@�W�A����y��n�}3rQ�-������JA,�crQgh��?Ed���8D ץ�gѪV᳔w�b�㚣EV���ϡ�Բcx�I�Э:|.#��?F?\a�ϩ��M0U��"�xUQ##1ʖ�j��]B�@�y/Eg�#�� JZ�{Oʯ�b 2 − Résolution d'un système d'équations linéaires, Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, Algorithme d'échelonnement dans un anneau euclidien, Valeur propre, vecteur propre et espace propre, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Élimination_de_Gauss-Jordan&oldid=174238245, Article contenant un appel à traduction en anglais, Portail:Informatique théorique/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, étape 1.1 : on cherche dans la première colonne de la matrice la valeur maximale des valeurs absolues des coefficients. 13 ) 0 10 = 1 ) 1 ) 3 4 4 − − 1 0 2 − − 2 En effet, prenons une matrice n×n dont seulement k n entrées sont non nulles mais dont les entrées sont régulièrement réparties sur les lignes et les colonnes, alors au cours de l'algorithme du pivot de Gauss le nombre moyen de valeurs non nulles sur une ligne passera de k à 2k puis 3k jusqu'à n. On trouve donc que le nombre d'instructions est de l'ordre de n n (n-1)/2. Contrairement à la méthode de Cramer, le pivot de Gauss ne requiert pas la connaissance des matrices (sauf pour sa démonstration) et donne même des solutions lorsque le système n’est pas de Cramer. Si le dernier pivot de la matrice échelonnée réduite associée à (A|B) se situe dans la dernière colonne, alors il n'y a pas de solution. 13 8 0 Le but de cette m´ethode est de transformer notre matrice ou syst`eme de d´epart en une matrice ou un syst`eme qui soit triangulaire. ) z 13 Cet algorithme peut être utilisé sur un ordinateur pour des systèmes avec des milliers d'inconnues et d'équations[réf. 0 − 2 j − y − 2 2 − x O 13 On calcule Le pivot est 0 ( − n 10 Le calcul à la main de l'inverse d'une matrice 3x3 est un travail simple, mais un peu fastidieux, … − − x 0 2 − = 3 , Elle vaut 2, située en (1, 1), de sorte que, étape 1.2.3 : on divise la ligne 1 par A(1, 1) = 2, soit. ( 3 2 4 A l’aide des opérations élémentaires précédemment définies, on peut alors définir une fonction appliquant l’algorithme du pivot de Gauss à une matrice pour la mettre sous forme échelonnée.. Pour des raisons de stabilité numérique, on recherche le pivot de … TP no 12 : Pivot de Gauss Correction de l’exercice 1 – Échelonnement d’une matrice et résolution d’un système 1. 2 INS3 Pivot de Gauss Code INS3.1: Implémentation de la fonction principale pour le pivot de Gauss 1 import copy # pour la copie profonde 2 3 def pivot_gauss(A0,Y0): 4 ’’’Algorithme de résolution du système matriciel A0.X = Y0. A Comme ce pivot n'est pas nul, on divise la ligne où il se trouve (c'est-à-dire la ligne 2) par le pivot : ( C'est également le rang de la matrice initiale, les opérations de réduction ci-dessus conservant chacune le rang. 2 {\displaystyle -{\frac {13}{3}}} 3 0 3 1 ) − x = − 2 %�쏢 5 ) k x��\YodGF⭟���63 13 = En Europe, cette méthode a été découverte et présentée sous forme moderne au XIXe siècle. 2 x 2 2 le pivot noté à l'étape j de l'algorithme. 0 {\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}1&0&-{\frac {1}{13}}&{\frac {10}{13}}\\&&&\\0&1&{\frac {8}{13}}&{\frac {50}{13}}\\&&&\\0&0&\left({\frac {35}{13}}\right)&{\frac {105}{13}}\end{array}}\right)}, ( = 4 Le rang d'une matrice échelonnée, réduite ou non, est le nombre de lignes possédant un pivot (non nul). = 2 3