Notamment, pour deux complexes a et b, on peut faire le produit de Cauchy des séries définissant l'exponentielle. ) 2 Le produit de Cauchy de deux séries 1 − {\displaystyle \gamma }  L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne une relation d'ordre entre le produit scalaire de  x et  y et leur norme. Exemple du produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. 14. ∑ Définition de l’intégrale de Riemann Soient deux nombres réels 1 0. ( z , a Dans ses cours à l’École polytechnique, Cauchy donne une définition de l’intégrale comme limite des sommes (dites de Cauchy), qui correspondent aux rectangles situés sous la courbe et qui approchent celle-ci en limite. γ z compact, donc bornée, on a convergence uniforme de la série. + {\displaystyle \sum a_{n}} et | Théorème 1.4 : cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour un produit scalaire Définition 1.2 et théorème 1.5 : norme et distance associée à un produit scalaire, inégalité de Minkowski Théorème 1.6 : égalités dites « de polarisation » 2. 2 Rappel de quelques définitions, en liaison avec le texte de Cauchy Cauchy distingua l’intégrale définie de l’intégrale indéfinie. On suppose que A est une algèbre de Banach. n ) [ ( r Cette formule est très importante en analyse complexe. 2. 2 vers. [ D ( 1 ou 3. r r n Cas complexe et vectoriel (en dimension finie). z − On peut faire intervenir la fonction n (1-x) -1 f : x -> -----n x et son intégrale sur ]0,1], mais s'il y a plus simple, je suis preneur ! {\displaystyle \sum b_{n}x^{n}} − − Soit I un intervalle de R et f : I → R. 1. {\displaystyle \sum a_{n}} n mesures, espaces mesurés : exemples. γ divergent et que Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], Méthodes de calcul d'intégrales de contour (en). = (  Au sommaire de cette page : Cas préhilbertien : inégalité de Cauchy … Cette formule a de nombreuses applications, outre le fait de montrer que toute fonction holomorphe est analytique, et permet notamment de montrer le théorème des résidus. z Si deux séries convergent il y a pourtant des résultats de convergence positifs pour leur produit de Cauchy. La réindexation nécessaire ne pose pas de difficulté puisque la somme est finie. a ( a 0 ⋅ {\displaystyle z\in D(a,r)} 2) Donner la définition du produit de Cauchy de deux séries et où et sont des éléments d’une algèbre normée. n Son nom est un hommage à l'analyste français Augustin Louis Cauchy. , a De la formule de Taylor réelle (et du théorème du prolongement analytique), on peut identifier les coefficients de la formule de Taylor avec les coefficients précédents et obtenir ainsi cette formule explicite des dérivées n-ièmes de f en a: Cette fonction est continue sur U et holomorphe sur U\{z}. n démonstrations utilisées par Cauchy présentent quelques défauts. ( − | La seule propriété qui manque pour pouvoir écrire la formule est la possibilité d'appliquer la formule du binôme de Newton, ce qui demande de supposer par exemple que a et b commutent. ( n a pour terme général. | On peut donc lui appliquer le théorème intégral de Cauchy : En remplaçant g(ξ) par sa valeur et en utilisant l'expression intégrale de l'indice, on obtient le résultat voulu. On note (c n) n2N la suite d e nie par 8n 2N, c n = Xn k=0 a kb n k. On cherche a montrer que X n c n est absolument convergente et que +X1 n=0 c n = +X1 n=0 a ( {\displaystyle r>0} a Il suffit en effet d'utiliser les propriétés de commutativité et d'associativité des familles sommables. ) 0 | Critère de Cauchy : Le résultat suivant est surtout utile dans les questions théoriques : Théorème Soit f une fonction de I = [a , b[ dans È ou  , localement intégrable. Montrons que ceci implique que f est développable en série entière sur U : soit 3) … ∑ n Soient deux polynômes à coefficients complexes P et Q donnés par leur décomposition dans la base canonique, où les coefficients de P et de Q sont nuls à partir d'un certain rang. 4.4 Produit de séries 28 4.5 Exercices 30 5 séries semi-convergentes33 5.1 Séries alternées 33 5.2 Critères de Dirichlet et d’Abel 35 5.3 Exercices 36 6 intégrales généralisées39 6.1 L’intégrale généralisée 39 6.1.1 Propriétés de l’intégrale généralisée 41 xiii ] ) − ( θ Alors il est possible de définir la notion de produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans A. 1.3 Exemples fondamentaux On donne ici une liste de produits scalaires usuels. n a On suppose que A est une algèbre de Banach. 1 Intégrale au carré - Forum de mathématiques. θ ∑ Alors il est possible de définir la notion de produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans A. π 1 γ {\displaystyle f\circ \gamma } intégrale de : Riemann – Lebesgue – Kurzweil-Henstock – Stieltjes intégrale impropre – intégrale paramétrique produit de convolution – valeur principale de Cauchy comparaison série-intégrale 2 ) {\displaystyle \sum |a_{n}|<\infty } 0 f L'intégrale de Cauchy Soit a,b des réels tels que a < b. ) x J'arrive, à l'aide d'un produit de Cauchy, à une série entière de terme général : n---- k-1 (n) \ (-1) (k) / ----- n! ∞ En outre, le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes converge, et la formule de distributivité généralisée tient toujours. C'est le cas par exemple si l'on prend pour les deux séries ∑ xn (rayon 1) d'une part et 1 – x d'autre part (polynôme, donc de rayon infini). Alors il est possible de définir la notion de produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans A. − sont toutes deux absolument convergentes, leur produit de Cauchy converge et la formule de distributivité généralisée est vérifiée. le cercle de centre a et de rayon r orienté positivement paramétré par a U ce qui permet d'effectuer une inversion des signes somme et intégrale : on a ainsi pour tout z dans D(a,r): et donc f est analytique sur U. Mais quand on fait le produit de Cauchy de cette série avec elle-même, on obtient la série 1 – x (rayon infini). Il vient donc ceci : {\displaystyle \sum b_{n}} a | {\displaystyle \sum a_{n}} 0 On n’effectue pas toutes les démonstrations. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe. Mais quand on fait le produit de Cauchy de cette série avec elle-même, on obtient la série 1 – x (rayon infini). Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. En outre, l'intégrale de Cauchy ne s'applique qu'aux fonctions continues. − 1 D , γ . 2.1.3 Critère de Cauchy Définition 2.1.5 On dit que la série P an vérifie le critère de Cauchy si ∀ε > 0 ∃N ∈ Ntel que ∀p ≥ N ∀q ≥ p on a Xq n=p an ≤ ε. Autrement dit, la série P an satisfait le critère de Cauchy si et seulement si la suite associée (An)n, An = Pn k=0 ak, est une suite de Cauchy. ) {\displaystyle \left|{\frac {z-a}{\gamma (\theta )-a}}\right|={\frac {|z-a|}{r}}<1} ( On sait que {\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}} converge. Orthogonalité. C'est bien pour se faire une idée, delta-B, mais ça ne prouve pas l'inégalité, en particulier lorsque b-a 1, en effet dans ce cas là il faut tenir compte du facteur (b-a), sinon on peut trouver l'inégalité dans les deux sens : Par exemple pour a=0, b=2, et f … ] . 0 ) n > [ Clémentine Laurens Inégalité(s) de Cauchy-Schwarz Théorème 4 (Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale, version "intégrale sur un intervalle quelconque") . et γ Notion de tribus. Mais elle n’est pas absolument convergente. {\displaystyle \theta \in [0,2\pi ]} − ( π ( Exercice 2. {\displaystyle [0,2\pi ]} tel que a La série produit est réduite à 1 (rayon infini). z . ∑ n Généralisation aux algèbres de Banach. Par exemple[2], le produit de Cauchy des séries 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + … et 1 – 2 + 2 – 2 + 2 – … est la série nulle (pour d'autres exemples, voir le § ci-dessous sur les séries entières). {\displaystyle \sum a_{n}x^{n}} est continue sur Mais quand on fait le produit de Cauchy de cette série avec elle-même, on obtient la série , donc un polynôme de rayon infini. Convol´ee de probabilit´es de Poisson * 80 Chapitre 5. c Celui-ci est entièrement déterminé par les valeurs que prend la fonction sur un seul chemin (à l'image du principe des zéros isolés). En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Série numérique : Produit de Cauchy Série numérique/Produit de Cauchy », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. Fin des démonstrations sur les familles sommables. Généralisation aux algèbres de Banach. Preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. La dernière modification de cette page a été faite le 12 août 2018 à 16:16. La formule intégrale de Cauchy, due au mathématicien Augustin Louis Cauchy, est un point essentiel de l'analyse complexe.Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. a des révisions sur l’Intégrale de Riemann, en dévoilant quelques théorèmes nouveaux qui anticiperont la longue théorie de l’Intégrale de Legesgue. | Chapitre 02 : Séries numériques – Cours complet. n ) b En se plaçant sur l'espace E = L 2(I;R)\C(I;R)gdes fonctions ontinuesc de arrcé intégrable sur I (avec I un intervalle elér quelconque) muni du prduito scalaire (f;g) 7!hfjgi= Z I