Produit de Cauchy de séries absolument convergentes Théorème : Si les séries P a n et P b n convergent absolument , alors la série P c n converge absolument et X+1 n=0 a n! 232 CHAPITRE 22. 1. SÉRIES 1. Produit de Cauchy de séries absolument convergentes Théorème : Si les séries P a n et P b n convergent absolument , alors la série P c n converge absolument et X+1 n=0 a n! Exercice 2. MPSI 2 : Exercices 32 1 Produit scalaire Ex 1 Facile Soit un espace pr´ehilbertien r´eel E et deux vecteurs x,y ∈ E. a) D´ev elopper l’expression kyk2.x−(x | y).y 2 b) Retrouver l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz ainsi que le cas d’´egalit ´e. Si f et g sont de carré intégrables sur I alors f ×g est intégrable sur I. 1 Suites de Cauchy Exercice 1.1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient (r n) n2N une suite de nombres r eels telle que jr n+1 r nj n, pour tout n2N, ou est un r eel strictement compris entre 0 et 1. Par r ecurrence sur n, on d eduit de (33) la formule de Moivre(5) (34) zn= rnh(n#): Exemple. La fonction x !xlnx est continue, croissante et strictement positive sur ]1;+¥[ (produit de deux fonctions strictement positives et crois-santes sur ]1;+¥[). Groupe diédral: http://math.univ-lyon1.fr/~germoni/agreg/presentation.pdf https://www.lycee-champollion.fr/IMG/groupes_2.pdf 2. Trouver toutes les fonctions de E pour lesquelles l’in´egalit´e pr´ec´edente est une ´egalit´e. La matrice ATA etant hermitienne semi-d e nie positive, ATAs’ ecrit ATA= QDQT, avec d ii 0 et ˆ(ATA) = max id ii.On a alors kAxk2 2 = xTQDQTx:D’apr es l’in egalit e de Cauchy, kAxk2 2 QTx 2 DQTx 2 QTx 2 2 kDk 2. L’espace Rn 0.1 Produit scalaire, norme et distance dans Rn Définition0.1. x��[[s��~��[�i���w��#+w,[��t�>�m3�HI������ b���i'3��{���\��g�⮠E��B�B+K�-�n�.���HK����bJ�������_��9�L)���0[~��H����b��L�j{�tQ��b'���+%�J-%���p��L8-߽z��r2�Z��N�W�'/'�*ߟ��O�~z�ߝ��q�2^N��áܚ�cJI%�i�qzv����u�^w���׻����V�J��eqQ�����J؂%��M��"ʆnj�(�,��Q�i�7��Y½^�& �A*���P�J�?3�J�8uxJ��� Gx�͸�d�"QX j On sait que {\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}} converge. DÉFINITIONS – SÉRIE GÉOMÉTRIQUE 2 Si la suite (Sn)n>0 admet une limite finie dans R (ou dans C), on noteS = +X1 k=0 uk = lim n!+1 Sn. Mais elle n’est pas absolument convergente. L’ensemble des fonctions de carré intégrable sur I est un espace vectoriel stable par produit. Définition 5.1 : produit de Cauchy de deux séries Théorème 5.2 : convergence du produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes Théorème 5.3 : constante d’Euler Théorème 5.4 : formule de Stirling. Structures algébriques:. (2) La s erie de terme g en eral vq est convergente. Exercice 11 Soient a;b 2 R +. Montrer que la suite (r n) n2N est de Cauchy. L’espace Rn 0.1 Produit scalaire, norme et distance dans Rn Définition0.1. II. Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles. P=∑i=0+∞aiXi,Q=∑j=0+∞bjXj{\displaystyle P=\sum _{i=0}^{+\infty }a_{i}X^{i},\qquad Q=\sum _{j=0}^{+\infty }b_{j}X^{j}} où les coefficients de P et de Qsont nuls à partir d'un certain rang. -L�eRX Sh%��.��`�,o�ד)3��v��%����d�����|����@X���y�+����^M�*�@?TT����CH{g�P�/�BxLf�ͬ4f�I/֋�j{� s����kӀ�kW�yL�(��7������n��ݙ����ͭ�x~���� ^��2ʈ�ɶ�_�X-�_M�Q�٭�@�CC@0���3�5��ſu'��� $Zf�'Q)�@G��V���V��-"���r��"���1Gxw����="(�C�h�յ-g}�(t? Vérifions alors que la série de terme général 1 nlnn, n > 2, diverge. 1.4 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski Proposition 2 Inégalité de Cauchy-Schwarz Soit E un espace préhilbertien complexe muni d’un produit scalaire noté (./. %���� L2 MIEE 2012-2013VARUniversité de Rennes 1. Produit de Cauchy de deux séries. Elle fait partie des inégalités qu'un élève en classe prépa MPSI ou PCSI ne doit pas oublier. Votre bibliothèque en ligne. }.3�JK$��1(��EW�i���돂�G��!�$�?#B��0 �������d�#-���5�������V���5f�T�V�v���lu�wТU*b�1���;�"���]�5Q��-��tnq��  Au sommaire de cette page : Cas préhilbertien : inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité et démonstrations, 7.4 Cauchy-Euler Equation The di erential equation a nx ny(n) + a n 1x n 1y(n 1) + + a 0y = 0 is called the Cauchy-Euler di erential equation of order n. The sym-bols a i, i = 0;:::;n are constants and a n 6= 0. 3. Orthogonalité. Par un argument de connexit´e, montrer que I(E) = [(b−a)2,+∞[. Si z est une solution de (1), on a z0(t)= f(t;z(t)) et z est C3, on en déduit que la dérivée troisième z(3) de z solution exacte de (1) s’exprime comme combinaison linéaire de produits de dérivées partielles de f … Title: MacrosCoursSpe.dvi Created Date: 11/26/2015 6:35:16 AM On verifie aussi que l’image d’une suite de Cauchy par une´ application uniformement continue, est de Cauchy.´ 1.1.2 Les suites convergentes sont de Cauchy Proposition 1.1. F2School.  L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne une relation d'ordre entre le produit scalaire de  x et  y et leur norme. Théorème 1.4 : cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour un produit scalaire Définition 1.2 et théorème 1.5 : norme et distance associée à un produit scalaire, inégalité de Minkowski Théorème 1.6 : égalités dites « de polarisation » 2. MP2 S eries num eriquesChapitre 3 PRODUIT DE CAUCHY ET COMPLEMENTS Th eor eme 4 Fubini Soit (up;q)(p;q)2N2 une famille de r eels ou complexes.Hypoth eses (1) 8q 2 N, la s erie de terme g en eral up;q d’indice p est absolument convergente On note vq = +∑1 p=0 jup;qj. +1 n=0 b n! En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Produit de Cauchy Série entière/Exercices/Produit de Cauchy », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. 5 Chapitre 2 : Normes de vecteurs et de matrices Preuve 2.5 D emonstration. On munit E du produit scalaire usuel d´efinit, pour f,g ∈ E, par hf,gi = Zb a f(t)g(t)dt. On suppose que A est une algèbre de Banach. Montrer que le produit de Cauchy de cette série par elle-même conduit à … On verifie aussi que l’image d’une suite de Cauchy par une´ application uniformement continue, est de Cauchy.´ 1.1.2 Les suites convergentes sont de Cauchy Proposition 1.1. Étudier la série de terme général un:= an2 p n 2 p n +bn: Exercice 12 Montrer que la série ∑ n2N un avec un:= ln (cos 1 2n) est convergente et calculer sa somme. (2) La s erie de terme g en eral vq est convergente. 1.4 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski Proposition 2 Inégalité de Cauchy-Schwarz Soit E un espace préhilbertien complexe muni d’un produit scalaire noté (./. 1. +1 n=0 b n! 2. Alors il est possible de définir la notion de produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans A. MP2 S eries num eriquesChapitre 3 PRODUIT DE CAUCHY ET COMPLEMENTS Th eor eme 4 Fubini Soit (up;q)(p;q)2N2 une famille de r eels ou complexes.Hypoth eses (1) 8q 2 N, la s erie de terme g en eral up;q d’indice p est absolument convergente On note vq = +∑1 p=0 jup;qj. Un exemple : Fonction de carré intégrable sur un intervalle Définition. Exercice 10 Montrer que les séries de termes généraux un:= ( 1)n p n et vn:= ( 1)n p n+( 1)n ne sont pas de même nature, bien que un ˘ vn.  Au sommaire de cette page : Cas préhilbertien : inégalité de Cauchy … 3. ). Soit n2N. Indication : on pourra ecrire, pour m>n, r m r n = P m 1 Comme 2QTx 2 2 = xTQQTx= xTx= kxk 2, on obtient kAxk En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Série numérique : Produit de Cauchy Série numérique/Produit de Cauchy », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. On suppose maintenant que f est de classe C2 et on considère la méthode du point milieu. Alors il est possible de définir la notion de produit de Cauchy de deux séries à valeurs dans A. = X+1 n=0 c n Notations : T n = f(i;j) 2N2; i+j ng K Montrer que la suite (r n) n2N est de Cauchy. %PDF-1.4 ). Universit e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2016-2017 Math IV - PMI - Alg ebre Feuille d’exercices no 1 Produits scalaires et in egalit e de Cauchy-Schwarz Exercice 1. Sur notre site tous les livres de pdf sont gratuits et téléchargeables. on verifie qu’une suite dans´ X est de Cauchy pour la distance d 1 si, et seulement si, elle est de Cauchy pour la distance d 2. Classe de Psi*, lycée Chaptal, Paris. on verifie qu’une suite dans´ X est de Cauchy pour la distance d 1 si, et seulement si, elle est de Cauchy pour la distance d 2. D´efinition du produit de Cauchy de deux s´eries. un C-espace vectoriel norm´e, complet) (ii) pour tous x,y∈ A, on a kxyk ≤ kxkkyk. Title: MacrosCoursSpe.dvi Created Date: 11/26/2015 6:35:16 AM Suites num´eriques I. Exemples A. u n = f(n) – u n = n2 +1 (polynome en n), – u n = 1 n− 4, u n = 3n− 2 4n+1 (fractions rationnelles en n), – u 1 Suites de Cauchy Exercice 1.1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient (r n) n2N une suite de nombres r eels telle que jr n+1 r nj n, pour tout n2N, ou est un r eel strictement compris entre 0 et 1. Généralisation aux algèbres de Banach. Mais quand on fait le produit de Cauchy de cette série avec elle-même, on obtient la série , donc un polynôme de rayon infini. 1 xlnx est continue et décroissante sur ]1;+¥[ et pour tout entier k … �ǫko�M�D��B�b)0>"�@�(�� D�/�M҈¯�w9�Q�����(���:J Zt����C0����+��XQkR��a'��RCÏ�(u�4�8�%o�� $�H��_�콾��?���g�8����~�Ӹ�HB���ǵ�q6�㼦��y�G��. Indication : on … Aller au contenu. 2. Alors leur produit se décompose comme 1. = X+1 n=0 c n Notations : T n = f(i;j) 2N2; i+j ng K Six= (x 1:::x n) ety= (y 1:::y n) sontdeuxvecteursdeRn,ondéfinit leurproduitscalairepar: ... Tableau périodique des éléments-Tableau de Mendeleïev PDF; Réaction acido-basique : Cours, résumés et exercices corrigés; Calorimétrie – Cours – TP … II Théorie de Cauchy-Lipschitz II.1 Le problème de Cauchy : définition et énoncé du théorème principal Il arrive qu’on ne recherche pas toutes les solutions d’une EDO mais seulement celles qui vérifient certaines condi-tions, dites conditions initiales de Cauchy ou tout simplement conditions de Cauchy. Une écriture particulière des coefficients du produit de polynômes permet de comprendre l'introduction de la formule du produit de Cauchy. Calcul de … Inégalité de Cauchy-Schwarz. }}, {\forall(a,b)\in\mathbb{C}^2,\;\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}, Mathématiques et informatique en classe préparatoire, par Jean-Michel Ferrard. Cela permet de donner une interpr etation g eom etrique simple du produit de deux nombres complexes : z 1z 2 a pour module le produit des modules et pour argument la somme des arguments. 7.b Déterminer, pour n >2, le signe de H n n+1 − H n−1 n. 7.c Démontrer que H n est négligeable devant n. III. Que vous soyez à la recherchee des manuels d'utilisation, notices, livres, des examens universitaires, des textes d'information générale ou de la littérature classique, vous pouvez trouver quelque chose d'utile en collection complète de documents. stream Généralisation aux algèbres de Banach. Soient deux polynômes à coefficients complexes P et Q donnés par leur décomposition dans la base canonique 1. 2.1.3 Critère de Cauchy Définition 2.1.5 On dit que la série P an vérifie le critère de Cauchy si ∀ε > 0 ∃N ∈ Ntel que ∀p ≥ N ∀q ≥ p on a Xq n=p an ≤ ε. Autrement dit, la série P an satisfait le critère de Cauchy si et seulement si la suite associée (An)n, An = Pn k=0 ak, est une suite de Cauchy. <> Notations. 7.b Déterminer, pour n >2, le signe de H n n+1 − H n−1 n. 7.c Démontrer que H n est négligeable devant n. III. On note (c n) n2N la suite d e nie par 8n 2N, c n = Xn k=0 a kb n k. On cherche a montrer que X n c n est absolument convergente et que +X1 n=0 c n = +X1 n=0 a L2 MIEE 2012-2013VARUniversité de Rennes 1. PQ=∑i∈N,j∈NaibjXi+j=∑s=0+… {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n+1}{2^{n}}}, {\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}}, {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}nz^{n}\;\text{et}\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^{2}z^{n}}, {H_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}, {\dfrac{1}{(1-z)^{p+1}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dbinom{p+n}{p}z^{n}}, {\exp(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{n! Ça semble très simple à première vue mais il y a quelques subtilités qui méritent qu'on s'intéresse à ces opérations ;-) Afficher/masquer la navigation. Les applications suivantes d e nissent-elles des produits scalaires sur les espaces vectoriels consid er es? Enjoy the videos and music you love, upload original content, and share it all with friends, family, and the world on YouTube. II. Mais quand on fait le produit de Cauchy de cette série avec elle-même, on obtient la série 1 – x (rayon infini). Par suite, la fonction x ! Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même 6.a Observer que, pour x > 1, la série P n>2 c n(x)est le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Solution . Universit e d’Orl eans { Pr eparation a l’agr egation de Math ematiques 1 In egalit es en analyse et en probabilit es { Le˘con 244 Rappels de th eorie In egalit e de Cauchy{Schwarz Soit Eun espace vectoriel sur K, ou K d esigne soit le corps des r eels R, soit le corps des complexes C. Soit h;iun produit … Preuve : produit de Cauchy Soit (a n) n2N et (b n) n2N deux suites num eriques telles que les s eries X n a n et X n b n sont absolument convergentes. PRODUIT SCALAIRE Chapitre 22 Produit scalaire 22.1 D e nitions et r egles de calcul D efinition 22.1 : produit scalaire Soit Eun R-ev.  L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne une relation d'ordre entre le produit scalaire de  x et  y et leur norme. On suppose que A est une algèbre de Banach. Chapitre 02 : Séries numériques – Cours complet. 19 0 obj Convergence de la s´erie produit de deux s´eries absolument convergentes. 7.4 Cauchy-Euler Equation The di erential equation a nx ny(n) + a n 1x n 1y(n 1) + + a 0y = 0 is called the Cauchy-Euler di erential equation of order n. The sym-bols a i, i = 0;:::;n are constants and a n 6= 0. On appelle alors S = P +1 k=0 u kla somme de la série P >0 uk, et on dit que la série est convergente.Sinon, on dit qu’elle est divergente. Elle fait partie des inégalités qu'un élève en classe prépa MPSI ou PCSI ne doit pas oublier. k. On dit que A est une alg`ebre de Banach si les deux conditions suivantes sont satisfaites : (i) A est un C-espace de Banach (i.e. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même 6.a Observer que, pour x > 1, la série P n>2 c n(x)est le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. 2. 1.1 Produit de Cauchy de deux s´eries `a termes complexes D´efinition 1 (Produit de Cauchy).Le produit de Cauchy des deux s´eries de termes g´en´eraux respectifs a n et b n est la s´erie de terme g´en´eral c n avec : c n= X p+q=n a pb q= Xn k=0 a kb n−k Th´eor`eme 1. Six= (x 1:::x n) ety= (y 1:::y n) sontdeuxvecteursdeRn,ondéfinit leurproduitscalairepar: 1.