Étudier une orthogonalité avec le produit scalaire dans un repère orthonormé > ... Courriel (non publié) Votre site web; Pour afficher votre trombine avec votre message, enregistrez-la d’abord sur gravatar.com (gratuit et indolore) et n’oubliez pas d’indiquer votre adresse e-mail ici. ∈ Soit Grâce au repère orthonormé de l'espace, on peut définir les coordonnées d'un vecteur comme dans le plan et définir le produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB \times AC \times \cos \widehat{BAC} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=12 \times 6 \times \cos(50 \degree) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \approx 12 \times 6 \times 0,643 \approx 46,28. e Pour la figure ci-dessous, on cherche, là encore, à calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} . Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé 1. Lorsque l'on connaît trois distances, par exemple, les longueurs des trois côtés d'un triangle, On peut calculer un produit scalaire en utilisant l'une des égalités ci-dessous (Voir propriété) : Cette formule est particulièrement utile lorsque l'on connaît les trois côtés d'un triangle ou lorsque l'on connaît 2 côtés et la médiane issus du même point ; on utilise alors souvent une des relations ci-dessous : \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} (Relation de Chasles), Si M et le milieu du segment [BC]\ : \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM} (Propriété de la médiane). Définitions et propriété Définition 1. x On a alors ∥u→∥=32+(−2)2+42=29 et ∥v→∥=22+52+12=30 k Nous verrons comment l’expression bien connue du produit scalaire dans un repère orthonormé se généralise dans un repère non orthonormé. 1 Le produit scalaire des vecteurs et est le réel noté défini par . k ∑ = k y k Dans ce cas le repère est appelé repère orthonormé direct . y II) Applications A) étermination équation cartésienne d’une droite/d’un plan 1 ⋅ ∑ n ⋅ On peut alors calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} de la façon suivante : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}. De plus, \overrightarrow{IC}= \overrightarrow{AI}, IB=\frac{1}{2} DB=3 et IC=AI=\frac{1}{2} AC=6. Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. ) dompig produit scalaire dans un repère orthonormé 25-02-10 à 09:57 mille excuses, les coordonnées des 4 points sont : A(-2;-1) B(1;-3) C(5;3) et D(9;0) j'ai réussi pour le croquis mais je ne sais pas comment faire pour le mettre sur le forum k e u . Comme les vecteurs \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{BI} sont orthogonaux le produit scalaire \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI} est nul ; pour la même raison le produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} est lui aussi nul. {\displaystyle {\begin{array}{cccc}u=\sum _{k=1}^{n}x^{k}e_{k}&&&v=\sum _{k=1}^{n}y^{k}e_{k}\\&&&\\&&&\\x_{k}=e_{k}\cdot u&&&y_{k}=e_{k}\cdot v\\\end{array}}}. x \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est aigu, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est obtus. k = = Produit scalaire et calcul d'angles dans un repère orthonormé a. Toutefois, Il est également possible ici de décomposer les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BC} en utilisant la relation de Chasles et en faisant intervenir le point I : \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}. Le produit scalaire de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} est le nombre réel noté \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} défini par : Le sens de l'angle n'a pas d'importance dans cette formule puisque pour tout angle \theta \ : \cos \theta =\cos( - \theta ). Le projeté orthogonal d’un point M sur une droite d est le point d’intersection M′ . n k Définition et propriétés Définition Étant donnés deux vecteurs et on appelle produit scalaire de et , noté , le nombre réel Exemple avec et , on obtient Complément = Dans un plan muni d’un repère orthonormé : En effet : Or les deux vecteurs de base sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul, d’où : De même, dans l’espace muni d’un repère orthonormé : {\displaystyle n\in \mathbb {N} } Un vecteur directeur de d est : Un vecteur normal de d est tel que : Soit : 3a + 2b = 0. a = 2 et b = − 3 conviennent, ainsi le vecteur est un vecteur normal de d. Nous verrons comment l’expression bien connue du produit scalaire dans un repère orthonormé se généralise dans un repère non orthonormé. k {\displaystyle {\begin{aligned}u\cdot v&=u\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}y^{k}e_{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{n}(e_{k}\cdot u)y^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}\end{aligned}}}. . Un vecteur directeur de d est : Un vecteur normal de d est tel que : Soit : 3a + 2b = 0. a = 2 et b = − 3 conviennent, ainsi le vecteur est un vecteur normal de d. Dans ce chapitre, nous allons calculer le produit scalaire de deux vecteurs u et v en fonction de leurs coordonnées covariantes et contravariantes. . est donné par : u n Définitions et propriétés Définition 1. u v x Ainsi, tu deviendras un crack dans le calcul d’un produit scalaire. y ∑ On a alors u→.v→=3×2−2×5+4×1=6−10+4=0 Exemple : On considère les vecteurs u→(3;−2;4) et v→(2;5;1). 1 x 1. Première utilisation : démontrer que des vecteurs sont orthogonaux Application 2 : Dans un repère orthonormé, […] {\displaystyle u\cdot v=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}} Une telle famille est dite orthonormale [1], [2] si de plus tous ces vecteurs sont unitaires : ∀ ∈ ‖ ‖ = k = En effet, considérons les 3 points A, B, C tels que u = AB et v = AC . Dire que l'angle \widehat{BAC} est obtus revient à dire que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} ont des sens opposés. = Ce premier bilan sur l'utilité du produit scalaire étant fait, on peut se demander s'il v Expression analytiques du produit scalaire dans un repère orthonormé: Base orthonormée: Soient i d et j gd deux vecteurs non nuls du plan ; On dit que ij, d gd est une base orthonormée du plan si et seulement si i j i j A1 et . u {\displaystyle v} k = Notons HHHce projeté orthogonal : On utilise alors le théorème suivant (voir cours) : (d) de vecteur directeur et (d’) de vecteur directeur ’ . = = v Il existe trois points A, B et C tel que ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ . un vecteur de coordonnées covariantes (y1, y2, ... , yn) et de coordonnées contravariantes t(y1, y2, ... , yn). k Calculons alors le produit scalaire de Ce réel ne dépend pas du repère choisi. ⋅ 1 On souhaite calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}. 1 v k k 1 Dans le triangle ci-dessus, d'après la relation de Chasles : \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB}. Produit scalaire de deux vecteurs Définition Soient et deux vecteurs non nuls du plan. Début de la boite de navigation du chapitre, fin de la boite de navigation du chapitre, Repère euclidien non orthonormé : Produit scalaire, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Repère_euclidien_non_orthonormé/Produit_scalaire&oldid=726673, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions. y Chapitre 8 : Calcul vectoriel et produit scalaire 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1. . \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}. On sait qu'il existe un … k Appliquer une formule utilisant les normes de 3 vecteurs. b) Orthogonalité de deux droites dans l’espace. k ⋅ Révisez en Première : Exercice Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormal avec Kartable ️ Programmes officiels de l'Éducation nationale k Nous introduisons les notions de coordonnées covariantes et contravariantes que nous retrouverons dans des leçons plus élaborées sur les tenseurs. Une autre façon de calculer le produit scalaire de 2 vecteurs consiste à décomposer ces vecteurs en utilisant la relation de Chasles puis à utiliser la distributivité du produit scalaire par rapport à l'addition ou à la soustraction de vecteurs. k u 1 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \approx 12 \times 6 \times 0,643 \approx 46,28. Nous allons dans ce paragraphe étendre le produit scalaire que vous connaissez dans le plan à l'espace. N Pour trouver le résultat demandé, on peut se placer dans un repère de centre I et employer la méthode précédente. Le projeté orthogonal d’un point M sur une droite d est le point d’intersection M′ de la droite d et de la … Notons H ce projeté orthogonal : On utilise alors le théorème suivant (voir cours) : Soient A, B, C trois points du plan et si H est la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right). {\displaystyle v} Produit scalaire et quadrillage. ( Dans un repère cartésien orthonormé ,on donne les trois points et formant le triangle .. A partir du produit scalaire, retrouver l'équation cartésienne du cercle de diamètre dans le plan et vérifier, aux approximations prés, que le sommet du triangle appartient à ce cercle . Il existe toujours un plan contenant A, B et C. On appelle produit scalaire des vecteurs ⃗ et ⃗ de l’espace le produit scalaire des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ dans le plan . v e ∑ ) A (− 1; − 1), B (4; − 1) et C (3; 3) dans un repère orthonormé. u k n Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul. n Dans un repère orthonormé, il est facile de calculer le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix} grâce à la formule suivante : Le plan étant rapporté à un repère orthonormé \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right), soient \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix} deux vecteurs du plan; alors : Lorsque la figure ne comporte pas de repère orthonormé, il est toujours possible d'en choisir un soi-même. x k y Cette leçon étudie le repérage dans un repère non orthonormé. e ∑ = On en déduit, d'après la seconde égalité du théorème précédent : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{AC}||{}^2 -||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( 9{}^2 +6{}^2 -8{}^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5. Dans une base orthonormée , … (Remarque : On peut montrer que ce résultat est encore correct si ABCD est un parallélogramme quelconque et non nécessairement un losange), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AH, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -IB \times IA, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -2 \times 2= -4, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB \times AC \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right), \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=12 \times 6 \times \cos(50 \degree). k k Pour calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} , on projette orthogonalement le point C sur la droite (AB) . Soit [ROC] Formule de soustraction des cosinus, [ROC] Vecteur directeur et vecteur normal d'une droite, Puissance d'un point par rapport à un cercle, Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation. = Dans ce cas le repère R O,i,j est appelé repère orthonormé . Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées des vecteurs. ⋅ k par 1 v ⋅ AB→ et AH→ont le même sens : 2. v C'est, en partie, ce qui fait la puissance de cet outil en mathématiques. ∑ Si vous continuez à utiliser ce dernier, nous considérerons que vous acceptez l'utilisation des cookies. 4 Le produit scalaire peut servir : • Pour démontrer par le calcul, un repère orthonormé étant choisi, une orthogonalité. Exemple : On se place dans un repère orthonormé du plan. u ⋅ = n Il existe de nombreuses méthodes permettant de calculer un produit scalaire. d gd d gd Théorème: Soient et deux vecteurs du plan . \vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2}-||\vec{u}||^{2}-||\vec{v}||^{2}\right), \vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\left(\left\Vert \vec{u}\right\Vert{}^2 +\left\Vert \vec{v}\right\Vert{}^2 -\left\Vert \vec{u} -\vec{v}\right\Vert{}^2 \right), \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{AC}||{}^2 -||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( 9{}^2 +6{}^2 -8{}^2 \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5, \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix}, \vec{u} \cdot \vec{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}, A(0~;~0)~; B(4~;~0)~;~C(4~;~4)~; D(0~;~4)~;~I(2~;~0), \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} x_{B} -x_{I} \\ y_{B} -y_{I} \end{pmatrix}, \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} x_{D} -x_{I} \\ y_{D} -y_{I} \end{pmatrix}, \overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \vec{u} \cdot \left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}. x = Dans ce chapitre, nous allons calculer le produit scalaire de deux vecteurs u et v en fonction de leurs coordonnées covariantes et contravariantes. e Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. n Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. = = n 1 On peut étendre la notion de produit scalaire dans le plan, établie ci-dessus, à deux vecteurs de l'espace. k Bien sûr, on utilise la définition du produit scalaire à l'aide des angles puisqu'ici on connaît l'angle \widehat{BAC} . Produit scalaire dans le plan – Révisions 1S Illustration de la quatrième expression du produit scalaire Application 1 : Dans chaque cas, calculer $\\vect{AB}.\\vect{AC}$ (ou $\\vec{u}.\\vec{v}$ pour le cas 2) : $\\quad$ $\\quad$ À quoi ça sert? Calcul d'angle. k ⋅ Le produit scalaire de k Exemple : On se place dans un repère orthonormé du plan. k x ∑ {\displaystyle u} * calculer le produit scalaire de deux vecteurs dont on connait les coordonnées dans un repère orthonormé. k = = y k = k La dernière modification de cette page a été faite le 18 juillet 2018 à 09:51. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=6{}^2 -3{}^2 =36 - 9=27. n k x On rappelle que (norme du vecteur ) désigne la longueur du segment […] k k ∑ (Il suffit de se placer dans un plan contenant les deux vecteurs, ce qui est toujours possible) Les propriétés vues pour le produit scalaire dans le plan s'étendront au produit scalaire dans l'espace. Nous allons voir, dans ce chapitre, 5 des principales méthodes utilisées en classe de Première pour calculer un produit scalaire : Appliquer une formule utilisant le cosinus d'un angle. Sur la figure ci-dessous, ABCD est un losange dont les diagonales mesurent : AC=12 et BD=6. ⋅ = L’expression analytique du produit scalaire et la norme d’un vecteur dans un repère orthonormé : 5 k Leçon : PRODUIT SCALAIRE dans l’espace Présentation globale 1) Le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace 2) Vecteurs orthogonaux 3) Produit scalaire et norme 4) repère orthonormé de l’espace base orthonormé de l’espace 5) analytique du produit scalaire dans l'espace 6) L'ensemble des points dans l'espace tq : u AM k. u Soit la droite d d'équation cartésienne 2 x − 3 y − 6 = 0 . Chapitre 8 : Calcul vectoriel et produit scalaire 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1. qui nous sont familières ne sont, en fait, vraies que dans les repères orthonormés parce que dans un tel repère, les coordonnées contravariantes sont égales aux coordonnées covariantes. Par conséquent : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}{}^2 -\overrightarrow{IB}{}^2 =AI{}^2 -IB{}^2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=6{}^2 -3{}^2 =36 - 9=27. On a donc : \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -IB \times IA \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}= -2 \times 2= -4, Si l'on connaît l'angle \widehat{BAC}, on peut calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} en utilisant les longueurs AB et AC ainsi que le cosinus de l'angle \widehat{BAC}(Voir Définition du produit scalaire.). e Le repère est orthonormé donc OA 2 = OA'2 + AA'2, ce qui revient à dire que : u 22 = OA = OA'2 + AA'2 = x2 + y 2 + z2 d' où u = x2 + y 2 + z 2 II) Produit scalaire dans l'espace : Deux vecteurs de l'espace u et v sont forcément coplanaires. = v = Pour tous vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}~: Cette méthode est très générale et elle peut souvent remplacer les méthodes 1 ou 4 ; cependant, elle peut être parfois plus difficile à manier. ∑ k Attention toutefois, pour que la formule précédente soit valable, il est important que le repère soit orthonormé. = Produit scalaire dans le plan 1.1. ( {\displaystyle v} L'angle \widehat{DIB} est ici un angle obtus. = ∑ Définitions. ) On appelle produit scalaire de et le nombre réel noté défini par : Remarques Attention : le produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur ! Objectif Utiliser les définitions et propriétés du produit scalaire afin de déterminer des mesures d’angles ou de longueurs dans un triangle notamment. k k 1. AB→ et AH→n’ont pas le même sens : Exemple : On considère les vecteurs u→(3;−2;4) et v→(2;5;1). 1 e Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base de l'espace et soit \overrightarrow{u} un vecteur de l'espace. On cherche à calculer la valeur du produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID} . = u v n u • Pour déterminer un angle géométrique, avec le calcul de son cosinus, dès lors que l'on sait calculer le produit scalaire dans un repère. La méthode utilisant la projection orthogonale est particulièrement bien adaptée ici puisque l'on connaît la projection orthogonale A du point D sur la droite (IB).