Allez à : Correction exercice 8 Exercice 9. Leçon suivante. C’est par exemple le cas de la série entière associée à la Pour démontrer qu’une fonction est de classe au voisinage de , il suffit de prouver que est la somme d’une série entière sur . I. Etude de la convergence Dans ce paragraphe, la variable x sera complexe. Écrire une série avec la notation sigma. La somme d’une série entière est toujours définie en 0 et il arrive que cette somme ne soit définie qu’en 0. Exercice 13 On se propose d'obtenir le développement en série entière de la fonction tangente. Unicité des coefficients du développement en série entière : s’il existe tel que pour tout de , . Par exemple la fonction plateau : → {− / ≠ = admet des dérivées successives toutes nulles en 0 ! 3) Est-il possible d'obtenir les fonctions "usuelles" comme sommes de séries entières ? Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue. Déterminer la somme d'une série entière Pour exprimer la somme d'une série entière à l'aide des fonctions classiques, on se ramène toujours aux développements en série entière usuels. Développement d'une fonction en série entière. Développement en série entière d'une fonction. dans certains cas, si on sait que la fonction est développable en série entière, on peut trouver son développement en utilisant sa série de Taylor. }\) Il s’agit de l’élément actuellement sélectionné. Cette condition est largement insuffisante pour assurer l’existence d'un développement en série entière. Déterminer solution de l’équation différentielle ( ) 2. Soit une série entière dont le rayon de convergence est strictement positif. 3 DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE 123 4 SOMME DE SÉRIES NUMÉRIQUES 155 5 CALCUL DE SUITES 179 ... Si la fonction f est de classe Cn+1 sur ... qui est le terme général d’une série positive divergente (série de Bertrand). Par exemple, le nombre de façons de décomposer \(237\) comme somme de cinq entiers positifs correspond au coefficient de \(x^{237}\) dans le développement en série entière de la fonction \(\displaystyle\frac{x^5}{(1-x)^5}\text{. C’est utilisable en particulier pour , , , 4 Développement d'une fonction en Série Entière, Sommation de Séries Entières. en série entière autour de zéro. Ainsi, la valeur d’une série entière en 0 est son « coefficient constant ». ... Exercices : Développement d'une fonction en série entière. En appliquant de manière itérée le théorème 4 aux dérivées successives de , on peut donc calculer leurs développements en série entière. Reconnaitre . Correction On réalise le produit de Cauchy des deux séries : et Ainsi, la série entière associée ci-dessus est la série nulle, donc de rayon + ∞ >, mais ne coïncide pas avec sur une boule ouverte centrée en 0. 1. P9. 3. Les deux problèmes sont complémentaires, il s'agit pour unr fonction donnée de trouver une série entière égale à cette fonction sur un intervalle à préciser, ou bien il s'agit pour une série entière de trouver une fonction usuelle à laquelle est est égale sur un intervalle à préciser. (1) En remarquant que f′ = 1 + f2, montrer qu'il existe une suite (Pn) de polynômes à coe cients dans N telle que f(n) = Pn f pour tout n 2 N. Déterminer le développement en série entière de sur ] [. Déterminer la formule explicite d'une série. Re : développement en série entière d'une fonction C infini Toutes les dérivées successives de ces deux fonctions sont nulles en 0. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction . On en déduit en particulier l'expression du développement de en fonction des dérivées successives, évaluées en : vous connaissez déjà le polynôme de Taylor. Pour x 2] ˇ=2;ˇ=2[, on pose f(x) = tgx. 2) Etudier les propriétés de la fonction somme d'une série entière. Si x = 1, anx n = (−1)n lnn Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. 1) Etudier le domaine de convergence d'une série entière.
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