<< 1111.1 1511.1 1111.1 1511.1 1111.1 1511.1 1055.6 944.4 472.2 833.3 833.3 833.3 833.3 Sur un domaine donné, la fonction est égale à la série de fonctions simples. /Widths[295.1 531.3 885.4 531.3 885.4 826.4 295.1 413.2 413.2 531.3 826.4 295.1 354.2 J'attends ton bidouillage avec curiosité. Par exemple la fonction plateau : → {− / ≠ = admet des dérivées successives toutes nulles en 0 ! /LastChar 196 /Length 1898 /Name/F1 /BaseFont/KPRBPJ+NimbusRomNo9L-Regu 299.2 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 734 435.2 489.6 707.2 761.6 489.6 883.8 992.6 /Subtype/Type1 /Subtype/Type1 /FirstChar 33 Allez à : Correction exercice 8 Exercice 9. dans certains cas, si on sait que la fonction est développable en série entière, on peut trouver son développement en utilisant sa série de Taylor. Exercice 17 **** I Développement en série entière de la fonction x 7!tanx Pour x 2 p 2; p 2, on pose f(x)=tanx. /Type/Font 295.1 826.4 531.3 826.4 531.3 559.7 795.8 801.4 757.3 871.7 778.7 672.4 827.9 872.8 �#sQ�| ǵ�#wg5O�r,J��ac����1��/o�ʉ��Ѩ������q���';3 2)En utilisant la formule de Taylor-Laplace, montrer que la série de Taylorà l’origine de f a un rayon de convergence R supérieur ou égal à π 2. REMARQUE SUR LE DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE DUNE BRANCHE DE FONCTION IMPLICITE; PAR M. E. GOURSAT. Tous droits réservés. 19 0 obj endobj 489.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 611.8 816 Développements en série entière, calcul de sommes de séries entières. II.2) Montrer que pour tout x 2]¡R,R[, on a … /LastChar 196 0000008808 00000 n 0000025281 00000 n 0000009274 00000 n Reconnaitre . est développable en série entière sur ssi pour tout de , la suite de terme général converge vers . 13 0 obj Corrigé de l’exercice 5 : Le rayon de convergence est égal à car et a même rayon de convergence que . <<6DAEC98C191B3385A4E02EC74271D40A>]/Prev 106018>> /Name/F10 Je cherche le développement en série entière de la fonction suivante : $ x \longmapsto \cos ( \cos (x) ) $ ... Tu peux peut-être exporter ton fichier Word en fichier .pdf et retenter ta chance. 1 http ://www.maths-france.fr /Subtype/Type1 /FontDescriptor 24 0 R 7 0 obj Une combinaison linéaire de fonctions développables en série entière est développable en série entière. >> /FontDescriptor 9 0 R /FirstChar 33 4 Développement d'une fonction en Série Entière, Sommation de Séries Entières. 1.Montrer qu’il existe une suite de polynômes (P n) n2N telle que pour tout entier naturel n, f(n) =P n f et que les P n sont à coefficients entiers naturels. 0000024971 00000 n Cette condition est largement insuffisante pour assurer l’existence d'un développement en série entière. /LastChar 127 /FirstChar 1 /Name/F9 2. . /Type/Font 597.2 736.1 736.1 527.8 527.8 583.3 583.3 583.3 583.3 750 750 750 750 1044.4 1044.4 0 0 0 0 722.2 555.6 777.8 666.7 444.4 666.7 777.8 777.8 777.8 777.8 222.2 388.9 777.8 /Widths[660.7 490.6 632.1 882.1 544.1 388.9 692.4 1062.5 1062.5 1062.5 1062.5 295.1 /Subtype/Type1 Exercice 6 Convergence et valeur de . 3. 1 4+2x2. /LastChar 255 295.1 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 295.1 295.1 1. x 7!2 1 x +exp(x). 0000009360 00000 n /BaseFont/NJLTZD+CMR8 Cherchons les solutions sous forme de série entière donc. 0000010489 00000 n 0000010840 00000 n 795.8 795.8 649.3 295.1 531.3 295.1 531.3 295.1 295.1 531.3 590.3 472.2 590.3 472.2 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 1000 1000 777.8 666.7 555.6 540.3 540.3 429.2] 147/quotedblleft/quotedblright/bullet/endash/emdash/tilde/trademark/scaron/guilsinglright/oe/Delta/lozenge/Ydieresis 666.7 722.2 722.2 1000 722.2 722.2 666.7 1888.9 2333.3 1888.9 2333.3 0 555.6 638.9 0000008931 00000 n 1 est DSE(0) (développable en série entière autour de 0) alors son DSE(0) correspond à son développement de aTylor : X+1 n=0 f(n) 1 (0) n! 380.8 380.8 380.8 979.2 979.2 410.9 514 416.3 421.4 508.8 453.8 482.6 468.9 563.7 0000008787 00000 n II.1) Justifier que la fonction f est de classe C1 et que la fonction f 0 est développable en série entière. 295.1 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 295.1 324.7 531.3 531.3 531.3 531.3 531.3 795.8 472.2 531.3 767.4 826.4 531.3 958.7 1076.8 531.3 531.3 413.2 413.2 295.1 531.3 531.3 649.3 531.3 295.1 885.4 795.8 885.4 443.6 460.7 580.4 896 722.6 1020.4 843.3 806.2 673.6 835.7 800.2 646.2 618.6 718.8 618.8 /BaseFont/REDANJ+CMSY8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 642.9 885.4 806.2 736.8 16 0 obj 22 0 obj << 10 0 obj Nous allons voir comment calculer un développement en série entière en un point, à travers un exercice. endobj 722 722 722 722 722 611 556 500 500 500 500 500 500 722 444 444 444 444 444 278 278 0000025834 00000 n En comparant les coefficients de , on obtient : . Corrigé de l’exercice 6 Le rayon de convergence est égal à 1 et l… Ce formulaire de développement en séries recense des développements en séries de fonctions pour les fonctions de référence (pour la plupart, des séries entières, et quelques séries de Laurent).Elles sont données avec indication du domaine de convergence (le rayon de convergence pour les séries entières) dans le champ complexe ou réel. 826.4 295.1 531.3] /BaseFont/AQEBDK+CMMI8 /Type/Font M1. endobj 0 Par la condition suffisante : étant supposée de classe sur , est développable en série entière sur lorsque la suite de terme général converge vers . /FirstChar 1 Toute équation F(x,y) = o, dont le premier membre est une fonction holomorphe de deux va-riables x et y dans le voisinage d'un système de valeurs x0, y0, pour lequel on a F(x0tiy0) = o, la dérivée -7- n'étant pas nulle pour x = x0, yz=yOy /FirstChar 33 endobj /Name/F2 Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. %PDF-1.2 Alors la série entière ∑ (a n + b n /BaseFont/OKXJZP+NimbusRomNo9L-Medi /FirstChar 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 826.4 295.1 826.4 531.3 826.4 /FontDescriptor 21 0 R amicalement, e.v. 777.8 1000 1000 1000 1000 1000 1000 777.8 777.8 555.6 722.2 666.7 722.2 722.2 666.7 /FontDescriptor 27 0 R endobj 25 0 obj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 458.3 458.3 416.7 416.7 722 611 333 278 333 469 500 333 444 500 444 500 444 333 500 500 278 278 500 278 778 << Sommes et produits de séries entières Théorème Soient ∑ a n xn une série entière de rayon de convergence R' et ∑ b n xn une série entière de rayon de convergence R". /Type/Font /Subtype/Type1 /Name/F7 53 0 obj /LastChar 196 /BaseFont/UVTXGL+CMR12 491.3 383.7 615.2 517.4 762.5 598.1 525.2 494.2 349.5 400.2 673.4 531.3 295.1 0 0 <> b)On écrit R k+1 k dt t 6 1 k 6 R k k 1 t, d'où le résultat. << /Type/Font /Widths[333 556 556 167 333 611 278 333 333 0 333 564 0 611 444 333 278 0 0 0 0 0 Effectuer les changements d’indice nécessaires pour remettre tous les x à la même puissance. /Name/F8 0000000015 00000 n 462.4 761.6 734 693.4 707.2 747.8 666.2 639 768.3 734 353.2 503 761.2 611.8 897.2 >> 500 500 500 500 500 500 500 564 500 500 500 500 500 500 500 500] 0000009829 00000 n /Type/Font stream 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 826.4 1062.5 1062.5 826.4 826.4 /Name/F3 Exercice 5 Convergence et valeur de . 708.3 795.8 767.4 826.4 767.4 826.4 0 0 767.4 619.8 590.3 590.3 885.4 885.4 295.1 11. Il en est de même de la dérivée ou d'une primitive d'une fonction développable en série entière. =|���o�?�����J��7v��c5 /Widths[1000 500 500 1000 1000 1000 777.8 1000 1000 611.1 611.1 1000 1000 1000 777.8 /Widths[609.7 458.2 577.1 808.9 505 354.2 641.4 979.2 979.2 979.2 979.2 272 272 489.6 %�쏢 /Differences[1/dotaccent/fi/fl/fraction/hungarumlaut/Lslash/lslash/ogonek/ring 11/breve/minus /Type/Font 0000025199 00000 n 1062.5 1062.5 826.4 288.2 1062.5 708.3 708.3 944.5 944.5 0 0 590.3 590.3 708.3 531.3 /Subtype/Type1 777.8 777.8 1000 500 500 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 0000010129 00000 n 777.8 777.8 1000 1000 777.8 777.8 1000 777.8] 791.7 777.8] 0000025571 00000 n 56 0 obj 0000001068 00000 n 699.9 556.4 477.4 454.9 312.5 377.9 623.4 489.6 272 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1000 1000 1055.6 1055.6 1055.6 777.8 666.7 666.7 450 450 450 450 777.8 777.8 0 0 8. 889 667 611 611 611 611 333 333 333 333 722 722 722 722 722 722 722 564 722 722 722 734 761.6 666.2 761.6 720.6 544 707.2 734 734 1006 734 734 598.4 272 489.6 272 489.6 0000000952 00000 n Déterminer la somme d'une série entière Pour exprimer la somme d'une série entière à l'aide des fonctions classiques, on se ramène toujours aux développements en série entière usuels. >> 0000009565 00000 n endobj Exercice/Vidéo : Questions : N’hésite pas à utiliser la barre de commentaires pour poser tes questions ou réagir. 1 Développement en série entière d’un inverse : Nombres de Bernoulli et nombres d’Euler Soit P a kzk une série entière de rayon de convergence R > 0, et soit la fonction: S : D(O;R) ! 0000009980 00000 n En effet ce qui m'embête c'est que la suite an n'est pas définie pour n=0 2) Quel degré minimum doit avoir le polynôme de Taylor pour obtenir les 6premières décimales de e? 2- Il faut commencer par développer la dérivée de . En utilisant une décomposition en éléments simples, montrer que les fonctions suivantes sont développables en série entière en 0, en donnant l’intervalle sur lequel ce développement est valable : a. 708.3 708.3 826.4 826.4 472.2 472.2 472.2 649.3 826.4 826.4 826.4 826.4 0 0 0 0 0 /LastChar 196 722 611 556 722 722 333 389 722 611 889 722 722 556 722 667 556 611 722 722 944 722 Développements en séries entières usuels Fonction Développement en série entière (DSE) Intervalle de validité du DSE x 6ex 23 0 P +1 n=0 a nz n oùD(O;R) = fz2C : jzj 0000009079 00000 n @=��4���a�"6���S��@q�WП�HX 611.1 798.5 656.8 526.5 771.4 527.8 718.7 594.9 844.5 544.5 677.8 762 689.7 1200.9 /FirstChar 33 0000009912 00000 n 0000026061 00000 n /LastChar 196 15. endobj 295.1 826.4 501.7 501.7 826.4 795.8 752.1 767.4 811.1 722.6 693.1 833.5 795.8 382.6 III. 888.9 888.9 888.9 888.9 666.7 875 875 875 875 611.1 611.1 833.3 1111.1 472.2 555.6 2. /LastChar 196 611.1 777.8 777.8 388.9 500 777.8 666.7 944.4 722.2 777.8 611.1 777.8 722.2 555.6 694.5 295.1] 545.5 825.4 663.6 972.9 795.8 826.4 722.6 826.4 781.6 590.3 767.4 795.8 795.8 1091 12.. Un développement en série est l'expression d'une fonction sous forme d'une série de fonctions élémentaires. %%EOF 544 516.8 380.8 386.2 380.8 544 516.8 707.2 516.8 516.8 435.2 489.6 979.2 489.6 489.6 xref /FontDescriptor 18 0 R 761.6 679.6 652.8 734 707.2 761.6 707.2 761.6 0 0 707.2 571.2 544 544 816 816 272 /LastChar 255 Bonjour 1- À partir la racine évidente 1, on obtient et la décomposition en élements simples est facile à obtenir, d'où le développement en série entière. 7.10 1) Déterminer le polynôme de Taylor de degré n de la fonction f(x)=ex au voisinage de a =0. 444 1000 500 500 333 1000 556 333 889 0 0 0 0 0 0 444 444 350 500 1000 333 980 389 /LastChar 196 cos( ) 1 1 x2 −x θ+ 14/Zcaron/zcaron/caron/dotlessi/dotlessj/ff/ffi/ffl/notequal/infinity/lessequal/greaterequal/partialdiff/summation/product/pi/grave/quotesingle/space/exclam/quotedbl/numbersign/dollar/percent/ampersand/quoteright/parenleft/parenright/asterisk/plus/comma/hyphen/period/slash/zero/one/two/three/four/five/six/seven/eight/nine/colon/semicolon/less/equal/greater/question/at/A/B/C/D/E/F/G/H/I/J/K/L/M/N/O/P/Q/R/S/T/U/V/W/X/Y/Z/bracketleft/backslash/bracketright/asciicircum/underscore/quoteleft/a/b/c/d/e/f/g/h/i/j/k/l/m/n/o/p/q/r/s/t/u/v/w/x/y/z/braceleft/bar/braceright/asciitilde 767.4 767.4 826.4 826.4 649.3 849.5 694.7 562.6 821.7 560.8 758.3 631 904.2 585.5 Puis en prenant les valeurs en et , on obtient : . /Filter[/FlateDecode] startxref 495.7 376.2 612.3 619.8 639.2 522.3 467 610.1 544.1 607.2 471.5 576.4 631.6 659.7 <> Comme toutes les séries introduites convergent : En supprimant les termes nuls : on peut ensuite simplifier : puis par changement d’indices . 1444.4 555.6 1000 1444.4 472.2 472.2 527.8 527.8 527.8 527.8 666.7 666.7 1000 1000 /BaseFont/ZKZHBG+CMMI12 1 3 2 2 − ++ x x x x a, b. xÚÅX[Ü¶~ï¯P_ ñм‰ EbÇÅ ÔÛ¢@¶òŒÖ ‘&’f»Î¯Ï9‘{ü%úæöå[ ÁlÝÞG. 492.9 510.4 505.6 612.3 361.7 429.7 553.2 317.1 939.8 644.7 513.5 534.8 474.4 479.5 En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme ∑ où les coefficients a n forment une suite réelle ou complexe. En déduire que pour tout n 2 N, f(n)(0) = 0. Exercice 25 [ 00982 ] [correction] 500 500 611.1 500 277.8 833.3 750 833.3 416.7 666.7 666.7 777.8 777.8 444.4 444.4 /FontDescriptor 30 0 R >> 3) On note an les coefficients du développement précédent et g la somme de la série entière associée à la suite (an)n∈N. 564 300 300 333 500 453 250 333 300 310 500 750 750 750 444 722 722 722 722 722 722 589.1 483.8 427.7 555.4 505 556.5 425.2 527.8 579.5 613.4 636.6 272] << /Widths[333 556 556 167 333 667 278 333 333 0 333 570 0 667 444 333 278 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 333 180 250 333 408 500 500 833 778 333 333 333 500 564 250 333 250 783.4 872.8 823.4 619.8 708.3 654.8 0 0 816.7 682.4 596.2 547.3 470.1 429.5 467 533.2 �o�1x��䓡���Ϡ�����\#����������3+�ʌ��Ȩ�����}���m;|�|dž/wOwn��O����>���G��;_���W,����A��0(��pw������V�?-���pT��֙�P��A��z%�/�aRퟔ_��g��Ɩ�Z��j���~y�T����{���Zi�ml����~���I�s��~��2�?��˯'��W�z��6~�?�vܥYⓤsg�������`F歳t�iU�ؿ-]�q�ZI;�Տ�b��1��ݿ)��`>�[���=?�(c��%6����ٝ��V << Soit une série entière dont le rayon de convergence est strictement positif. Le développement en série entière suit. /Type/Font /Name/F6 /BaseFont/LRNBIS+MSBM10 /Type/Font 722 722 722 556 500 444 444 444 444 444 444 667 444 444 444 444 444 278 278 278 278 h��=���q�Y�����D^�.�N���'��C��W�1��8).��tvC�t�,$���{-R��z�0� 37 0 obj En déduire que f n’est pas développable en série entière en 0. /FontDescriptor 33 0 R ��It����Q��.C��P�E������/ˣ��Wi�M���0�P>��)f��e��ʯ��,��nNT?��]�,՛��d�����S�nu}���ѱܷq������Ka�� �E��G�d����>���iR^��(�����EG ��L9;���Ā�����Z ��$~�3B�>�p0��1�&" ̌Ns�ŔOZ��2�`�X���H $����.7����*� 4�sj�i#9*'�Mp��#B� q�`�`�, A�{�*Z���q`�&�|m�� O��q�Ό�x�r0K@A3��?? endobj stream Exercice V : Série entière et rayon de convergence Développer en série entière et déterminer les rayons de convergence : 1 x¡5, 1 1+9x2, 1 (1+ x)2, ln(5¡x). 34 0 obj En utilisant dessommes de DSE connus. 0000010338 00000 n 278 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 333 333 570 570 570 500 930 722 667 722 55 0 obj >> /FirstChar 33 0000010691 00000 n 0000001231 00000 n 722 1000 722 667 667 667 667 389 389 389 389 722 722 778 778 778 778 778 570 778 endobj M1.2. >> 833.3 1444.4 1277.8 555.6 1111.1 1111.1 1111.1 1111.1 1111.1 944.4 1277.8 555.6 1000 Corrigé 10. a)Il est classique (en considérant S 2n S n) que limS n= +1. Pourp2N,onnotea p;n= P k 1+ +kn=p a k 1 a k 2 a kn. >> Par la formule de Taylor avec reste intégral (peu utilisé). Exercice VI : Série entière et rayon de convergence En utilisant laformule de Taylor : M1.1. /Widths[777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 … 128/Euro/integral/quotesinglbase/florin/quotedblbase/ellipsis/dagger/daggerdbl/circumflex/perthousand/Scaron/guilsinglleft/OE/Omega/radical/approxequal Pour poster un commentaire, clique sur le titre de l’article. 1277.8 811.1 811.1 875 875 666.7 666.7 666.7 666.7 666.7 666.7 888.9 888.9 888.9 Exprimer avec la suite (an)n2N le développement en série entière de la fonction f 0 en précisant son rayon de convergence. 1. On obtient 1 12 X n>0 (2 n 4( 1)n)(n+1)xn. 31 0 obj 1062.5 826.4] 500 500 500 500 333 389 278 500 500 722 500 500 444 480 200 480 541 0 0 0 333 500 272 272 489.6 544 435.2 544 435.2 299.2 489.6 544 272 299.2 516.8 272 816 544 489.6 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 0000009767 00000 n /FirstChar 33 324.7 531.3 590.3 295.1 324.7 560.8 295.1 885.4 590.3 531.3 590.3 560.8 414.1 419.1 /Subtype/Type1 /Widths[791.7 583.3 583.3 638.9 638.9 638.9 638.9 805.6 805.6 805.6 805.6 1277.8 444.4 611.1 777.8 777.8 777.8 777.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> 500 500 1000 500 500 333 1000 556 333 1000 0 0 0 0 0 0 500 500 350 500 1000 333 1000 820.5 796.1 695.6 816.7 847.5 605.6 544.6 625.8 612.8 987.8 713.3 668.3 724.7 666.7 54 0 obj endobj xn: Il faut donc commencer par calculer le f(n) 1 (0) pour tout n. Ensuite, on étudiera sur quel intervalle f 1(x) est égale à son développement de aTylor. 3 dÉveloppement en sÉrie entiÈre 123 4 somme de sÉries numÉriques 155 5 calcul de suites 179 6 exercices thÉoriques 191 7 rÉsolution d’Équations diffÉrentielles 229 8 sÉries entiÈres et intÉgrales 273 9 convergence normale et uniforme 297 10 autres exercices 303 i. 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 761.6 489.6 Développement en série de Taylor: Cours 6 (26.03) Rayon de validité du développement en série de Taylor et rayon de convergence. 28 0 obj endobj ������G�e�+6*�} T1B=C��H�D��^iZ�;��r�U�Z�s_���쳃��@����0�u�=a��4��Ώ�6q�nxv�Ż�����,�V��m2:_�����������*f���N`�\�U��w;m�τ4�2Q >> <> /FontDescriptor 36 0 R %PDF-1.4 En déduire, pour ∆ ‘ ]0,π[ la valeur de ∑ 0 & sin (2n + 1) ∆ 2n + 1. 761.6 272 489.6] 161/exclamdown/cent/sterling/currency/yen/brokenbar/section/dieresis/copyright/ordfeminine/guillemotleft/logicalnot/hyphen/registered/macron/degree/plusminus/twosuperior/threesuperior/acute/mu/paragraph/periodcentered/cedilla/onesuperior/ordmasculine/guillemotright/onequarter/onehalf/threequarters/questiondown/Agrave/Aacute/Acircumflex/Atilde/Adieresis/Aring/AE/Ccedilla/Egrave/Eacute/Ecircumflex/Edieresis/Igrave/Iacute/Icircumflex/Idieresis/Eth/Ntilde/Ograve/Oacute/Ocircumflex/Otilde/Odieresis/multiply/Oslash/Ugrave/Uacute/Ucircumflex/Udieresis/Yacute/Thorn/germandbls/agrave/aacute/acircumflex/atilde/adieresis/aring/ae/ccedilla/egrave/eacute/ecircumflex/edieresis/igrave/iacute/icircumflex/idieresis/eth/ntilde/ograve/oacute/ocircumflex/otilde/odieresis/divide/oslash/ugrave/uacute/ucircumflex/udieresis/yacute/thorn/ydieresis] 389 333 722 0 0 722 0 333 500 500 500 500 220 500 333 747 300 500 570 333 747 333 777.8 777.8 777.8 888.9 888.9 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 777.8 Théorème 3.1 : condition nécessaire de développement en série entière Définition 3.2 : série de Taylor d’une fonction de classe C ∞ autour de 0 Théorème 3.2 : développements en série entière obtenus directement ou par la formule de Taylor Théorème 3.3 : développements en série entière obtenus par combinaisons linéaires 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 777.8 277.8 777.8 500 777.8 500 777.8 777.8 777.8 777.8 0 0 777.8 /FontDescriptor 12 0 R >> 652.8 598 0 0 757.6 622.8 552.8 507.9 433.7 395.4 427.7 483.1 456.3 346.1 563.7 571.2 333 722 0 0 722 0 333 500 500 500 500 200 500 333 760 276 500 564 333 760 333 400 C z 7! /Contents 56 0 R Indication : pour évaluer R Les deux problèmes sont complémentaires, il s'agit pour unr fonction donnée de trouver une série entière égale à cette fonction sur un intervalle à préciser, ou bien il s'agit pour une série entière de trouver une fonction usuelle à laquelle est est égale sur un intervalle à préciser. x��]��$�q�|�(��n���B@0l�,���/~�) << On obtient alors une somme "globale" des bn * x^n, ce qui nous permet d'exprimer la suite les an par unicité du développement en série entière. 720.1 807.4 730.7 1264.5 869.1 841.6 743.3 867.7 906.9 643.4 586.3 662.8 656.2 1054.6 53 32 /Type/Encoding 275 1000 666.7 666.7 888.9 888.9 0 0 555.6 555.6 666.7 500 722.2 722.2 777.8 777.8 Y�ŋHtEp�d�6A�ũ-B62Q]Л�;\�_LV�V���j�/E�Uuի2��N׍����� ^�;���f��Y�C�`E��(T����n���1� �������;})&J�nȽ������'TR��7 nGf��?.��_s"I��Ko|_��-��˃�G3U�jmL&�e��G��v]k�$��X 1�2������ft���iC��AiC�2�M7m��v��@��-^����ͷ���[��U�m�)O���уp� ] �c7SK��!��b���Ym�� Par la condition nécessaire et suffisante : étant supposée de classe sur , où et . On peut parfois exprimer, au moyen de leur développement en série entière, des solutions d’une équation différentielle. 3. 413.2 590.3 560.8 767.4 560.8 560.8 472.2 531.3 1062.5 531.3 531.3 531.3 0 0 0 0 << On cherche les réels et tels que . Ainsi, la série entière associée ci-dessus est la série nulle, donc de rayon + ∞ >, mais ne coïncide pas avec sur une boule ouverte centrée en 0. Expliquons cela en traitant un exemple : Exemple : Soit l’équation différentielle: . endobj Déterminer solution de l’équation différentielle ( ) 2. 0000010722 00000 n 722 667 611 778 778 389 500 778 667 944 722 778 611 778 722 556 667 722 722 1000 334 405.1 509.3 291.7 856.5 584.5 470.7 491.4 434.1 441.3 461.2 353.6 557.3 473.4 /Widths[272 489.6 816 489.6 816 761.6 272 380.8 380.8 489.6 761.6 272 326.4 272 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 272 272 272 761.6 462.4 /FirstChar 33 1002.4 873.9 615.8 720 413.2 413.2 413.2 1062.5 1062.5 434 564.4 454.5 460.2 546.7 I.1.3 Dériver terme à terme le développement en série entière de F(x,z)et l’identi-fier avec le développement en série entière de la dérivée (par rapport à x) de F(x,z). Développement en série entière Exercice 8.1 Premiers exemples de développements en série entière Montrer que les fonctions suivantes sont développables en série entière au voisinage de 0 et, dans chaque cas, calculer leur développement en série entière au voisinage de 0. 3-c) Développements en série entière et dérivation ou intégration.....page 26 4) Développement en série entière des fractions rationnelles ..... page 27 c Jean-Louis Rouget, 2017. 0000020843 00000 n 722 722 667 333 278 333 581 500 333 500 556 444 556 444 333 500 556 278 333 556 278 /FontDescriptor 15 0 R 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 663.6 885.4 826.4 736.8 c)On encadre la série entre deux séries qui sont alternées à partir d'un certain rang. /Subtype/Type1 /Encoding 7 0 R 666.7 666.7 666.7 666.7 611.1 611.1 444.4 444.4 444.4 444.4 500 500 388.9 388.9 277.8 endobj 278 278 500 556 500 500 500 500 500 570 500 556 556 556 556 500 556 500] 0000016294 00000 n 0000008850 00000 n /Name/F4 endobj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 606.7 816 748.3 679.6 728.7 811.3 765.8 571.2 << >> /Name/F5 400 570 300 300 333 556 540 250 333 300 330 500 750 750 750 500 722 722 722 722 722 833 556 500 556 556 444 389 333 556 500 722 500 500 444 394 220 394 520 0 0 0 333 /Type/Font 777.8 777.8 777.8 500 277.8 222.2 388.9 611.1 722.2 611.1 722.2 777.8 777.8 777.8 761.6 489.6 516.9 734 743.9 700.5 813 724.8 633.9 772.4 811.3 431.9 541.2 833 666.2 << 531.3 826.4 826.4 826.4 826.4 0 0 826.4 826.4 826.4 1062.5 531.3 531.3 826.4 826.4 /Subtype/Type1 /BaseFont/CBKWNR+CMEX10 /Widths[1062.5 531.3 531.3 1062.5 1062.5 1062.5 826.4 1062.5 1062.5 649.3 649.3 1062.5 472.2 472.2 472.2 472.2 583.3 583.3 0 0 472.2 472.2 333.3 555.6 577.8 577.8 597.2 M2. �餀W�}����qvd�� �!�9lŒcqx�|ijycmY,�>�.�co`�Y@)e]�(`;0.tڎP+��u%����0�pT����f��0�D�a����Gj%v�H hCwD`�nd��*�3�z�t�W���#�1k|v�k���peh�a����I�4�׆Ov�o�6{%t6��eGeRo[g�-XJ�1S�8�"X��ٝ�h� >> Bonjour à tous, mon problème vient du développement en série entière de Je pense donc au produit de Cauchy ce qui donne d'abord : et en faisant le changement de variable dans la somme de droite j'obtiens: >> 947.3 784.1 748.3 631.1 775.5 745.3 602.2 573.9 665 570.8 924.4 812.6 568.1 670.2 sin(z) ne s’annule jamais sur U. Déterminer en tout z 0 2U donné le rayon de convergence du développement en série de Taylor de f. Remarque : il est déconseillé de chercher à résoudre ce problème en déterminant explicitement les coefficients des séries de … /BaseFont/WKPLKI+CMSY10 Déterminer le développement en série entière de sur ] [. 0000011929 00000 n 39 0 obj /Encoding 7 0 R << C’est utilisable : 1. pour tout polynôme e… Mon problème est que dans cet exercice je n'arrive pas à faire apparaître les x^n sur toutes les sommes que j'obtiens. 756.4 705.8 763.6 708.3 708.3 708.3 708.3 708.3 649.3 649.3 472.2 472.2 472.2 472.2 2. x 7! ��svGZ���V ��CG�6�(v�]:��+�+������u��IM��(B��X��v=��JE�+7�*5R�% �td�����m`!8�P����Z���}���m��I�h�U~��mO��t�~yfG�I��. 1 1+3x, x 7! trailer /Subtype/Type1 278 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 278 278 564 564 564 444 921 722 667 667 a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant g. b) Pour tout x ∈ ] − 1 , 1[ , exprimer g ( x ) en fonction de f ( x ) . 0000025754 00000 n 0 0 0 0 0 0 0 333 278 250 333 555 500 500 1000 833 333 333 333 500 570 250 333 250 << Analyse : développement en série d’une fonction 7.4.
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