On aura donc les formules : Vérifions que c’est bien le cas dans l’exemple précédent. On peutmême«écraser»lerepère.Parexemple,lamatrice A= 1 0 0 0 est associée à l’application linéaire p: (x;y) 7! Si on note Abl’application linéaire canoniquement associée à A et Bp et Bn les bases canoniques respectives de Kp et Kn, alors : A=Mat Bp,Bn bA. Remarque : si l’espace vectoriel de départ est le même que l’espace d’arrivée (et donc même base de départ et d’arrivée), on pourra écrire MatB(f) à la place de MatB, B(f). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. Montrer que (x0,f(x0),f2(x0)) est une base de E. (Q 3) Quelle est la matrice de fdans cette base? C'est l' application linéaire canoniquement associée à A Ainsi, la matrice de f dans la base B est : Une matrice de passage, souvent notée P (comme Passage), est une matrice qui détermine comment passer d’une base d’un espace à une autre base du même espace. Noyau et image de f. Problèmes. — 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A Théorème 1 : Soit A ∈Mn,p(K). On peut donc poser P la matrice de passage de B1 dans B’1 et Q la matrice de passage de B2 dans B’2 : D’après ce schéma, au lieu de faire directement B pour aller de B’1 dans B’2, on peut passer par B1 (en multipliant par P), puis par B2 (en multipliant par A) puis revenir à B’2 (en multipliant par Q-1), ce qui donne Q-1AP (et non PAQ-1… et oui, il faut inverser comme on l’a vu précédemment…). et dépend uniquement de la dimension de Comme f Id = f et Id f = f, on aura par la suite ce genre de formule : Après ce petit prélude, rentrons désormais dans le vif du sujet ! On se place dans l’espace E = K3[X], l’ensemble des polynômes de degré inférieure ou égal à 3. Tout d’abord, de par sa définition, P correspond à la matrice de l’application identité (Id) de la base B’ dans la base B. Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée MatB’,B(Id)… Remarquons immédiatement qu'il est nécessaire de mettre deux indices pour identifier ces scalaires : - le deuxième indique qu'il s'agit des coefficients de la décomposition de b) Ecrire la matrice de fdans la base canonique B 1 = (E 11;E 12;E 21;E 22) de M 2(R). Re : Matrice associée à un application linéaire (dérivation d'un polynôme) Bonjour. ou relativement aux bases ) signifie que l'on considère l'espace vectoriel Si est la matrice de et la matrice de , la proposition 4 entraîne que .. Réciproquement si est inversible, alors définit une application linéaire unique de dans .La composée de cette application avec a pour matrice : c'est l'application identique. Application : loi de réciprocité quadratique. Enfin, pour terminer la partie sur les matrices de passage, mentionnons le fait que l’on puisse, grâce aux matrices de passage, exprimer les coordonnées d’un vecteur dans une autre base. sur le vecteur e1 = 1e1 + 0e2 + 0e3 Cela va donner une autre matrice de passage d’une base à une autre. Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. Soit une application linéaire de vers . Vérifions en calculant Q-1AP que l’on va simplifier avec le principe vu précédemment : Si on multiplie cette égalité par Q à gauche et P-1 à droite, on obtient : Ainsi on a pu transformer la matrice A de l’application f exprimée dans une base, à une autre matrice B de la même application mais exprimée dans une autre base, uniquement en multipliant par des matrices de passage ! En effet cette matrice a un nombre de lignes égal à la dimension de l'espace d'arrivée de Représentation d’une application linéaire la dimension de f(X) = 2 x 1 – X = 2 – X . Il est donc déterminé de façon unique par ses coordonnées dans la base de choisie, ce que l'on peut expliciter de la manière suivante : si coefficients (il y a Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée . a) Montrer que fest une application lin eaire. Posons E 11 = 1 0 0 0 ;E 12 = 0 1 ;E 21 = 0 0 0 1 ;E 22 = 0 0 0 1 . ou dans les bases Dé nition7 Application linéaire canoniquement associée à une matrice Soit A2M n;p(R) une matrice de nlignes et pcolonnes. + y p u ′ p F , on note X ℬ = [ x j ] 1 ≤ j ≤ n et Y ℬ ′ = [ y i ] 1 ≤ i ≤ p les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs x … Si , une application linéaire vérifiant (c'est-à-dire ) n'est pas nécessairement égale à une affinité de rapport 1 (qui est l'identité). Cela signifie que si . On peut l’indentifier à l’application linéaire ˜u: M2,1(K) →M3,1(K) définie par ˜u(X) = AX. , il y a unicité de la matrice associée à Je veux exprimer ce vecteur dans une autre base B’, on note ce nouveau vecteur X’. Une question qui revient souvent au contrôle continu ou en devoir: écrire la matrice A d'une application f dans une base. 3. f(e3) = 7e’1 – 2e’2. Décomposition polaire [CG, G] 5. Déterminer si les applications suivantes (de Ei dans Fi ) sont linéaires. TROUVER LA MATRICE ASSOCIÉE À UNE APPLICATION LINÉAIRE DONNÉE ... On conclut donc que est bien linéaire, omme l’image d’une om inaison linéaire est égale à la combinaison linéaire … — Applications linéaires. la dimension de , donc par les vecteurs. Si tu as un cours sur la matrice d'un endomorphisme dans une base, tu peux y lire que ses colonnes sont les coordonnées (*) des images des vecteurs de la base. Mais si on veut la matrice de passage de B’ dans B… on fait tout simplement P -1 ! et Remarque : la plupart du temps, on aura B1 = B2 et B’1 = B’2, ce qui donnera P = Q ! Soit L1 Algèbre linéaireDans cette vidéo on se donne une application linéaire et on explique comment fabriquer sa matrice. Ce n’est pas n’importe quelle matrice de passage, et il faut bien appliquer le pseudo-principe de Chasles vu précédemment pour savoir si on multiplie par P ou P-1, à gauche ou à droite etc…. f(X2) = 2 x 2X – X2 = 4X – X2 est un entier compris entre , il existe . et Calculs avec les matrices de passage une base de Application linéaire associée à une matrice. Soient Elles sont reliés par l’égalité par l’égalité B = Q-1AP ⇔ A = QBP-1, avec P et Q matrices de passage. - si Exercice : Matrice associée à une application linéaire Notation matricielle et systèmes linéaires Pour tous x = x 1 u 1 + . . Exercice 2. e’3 = -3e1 + 6e2 + 5e3. et si Tu sais que car h est linéaire Donne-moi une matrice A qui marche pour voir si tu as compris. lignes et Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases. En effet : f(1) = 2 x 0 – 1 = -1 Matrice associée à une application linéaire. ATTENTION !! f(e2) = -8e’1 + 5e’2 de De la même manière que ce que l’on a vu ci-dessus, chaque colonne représentera les coordonnées d’un nouveau vecteur dans l’ancienne base : On complète ensuite par colonne par rapport à ce qui est donné dans l’énoncé. . Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée, Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : e3 = 01 + 0e2 + 1e3 . Ce cours est simplifié au maximum pour que tu puisses comprendre et réaliser les exercices. Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases. La matrice A, relativement aux bases B et B’, notée MatB, B’(f) est : Comme tu le vois, chaque colonne correspond aux coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3), c’est-à-dire les images des vecteurs de la base de l’espace de départ. Dans un tel cas, on dit que les matrice A et B sont équivalentes car elles représentent la même application linéaire mais dans des bases différentes. Voyons tout d’abord la formule de la multiplication de matrices sous forme générale (on a vu ci-dessus ce que cela donnait avec la matrice identité) : Comme tu le vois, au niveau des bases c’est comme précédemment avec le pseudo-principe de Chasles. — Des bases étant choisies respectivement dans Sur ce même principe, on peut combiner matrice de passage et matrice d’application linéaire. . —. dans scalaires Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple L’application f χ −→ Z 1 0 f t2 dt est linéaire de C [0,1],R dans R. Démonstration Les applications f −→f t −→t2 et f −→ Z 1 0 f (x)dx sont linéaires, donc χaussi par composition. Pour exprimer la matrice A d'une application linéaire h, il suffit d'exprimer l'image de la base , soit et seront les colonnes de ta matrice. Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. — . Pour bien comprendre, il faut que tu aies lu le chapitre sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, sinon tu risques de ne pas comprendre le vocabulaire employé. et Cette matrice A définit entièrement l’application f. Application linéaire associée à une matrice. muni de la base par rapport aux bases. et s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base ngest une famille g en eratrice (ou une base) de E. Pour d e nir une application lin eaire sur E, il su t donc de d e nir les images des vecteurs d’une base de E. D e nition 5 { Soient Eet F deux espaces vectoriels de dimension nie et f2L(E;F). Montrer que : (est injective si et seulement si ker )={0 }. Vocabulaire : on dit aussi que c'est la matrice de On prend la base canonique de E : (1, X, X2, X3), et on définit l’application f par : Pour trouver la matrice de f dans la base B, il faut calculer l’image de chaque vecteur de la base : f(1), f(X), f(X2) et f(X3) : —. La matrice A, relativement aux bases B et B’, est notée MatB, B’(f). Classification [CG] Sur les complexes, les réels et les corps finis. En revanche, on peut très bien comprendre le principe avec un schéma : Et là en retrouve un vrai principe de Chasles ! En effet : On retrouve une « sorte » de principe de Chasles mais : (B2;B1)(B3;B2) → (B3;B1) (attention cette notation est à faire uniquement au brouillon, elle n’est pas valable mathématiquement). du vecteur Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les matrices. Soit : → une application linéaire et un réel. coefficients Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps . On considère l'espace vectoriel P3 des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et la base B = (1 ; x; x2; x3). Représentation d’une application linéaire. Soit la dimension de et une base de . Donc, l'application linéaire Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : + x n u n E et y = y 1 u ′ 1 + . La notation ( Remarque : pour les applications, comme f, la notation respecte l’ordre des bases. et pour chacun d'eux, il y a . L'application qui associe à chaque fonction polynôme sa fonction dérivée est un endomorphisme de P3. Par ailleurs, comme B et B’ sont des bases d’un même espace, elles ont même dimension, donc P est nécessairement une matrice carrée de taille n, avec n la dimension de l’espace considéré. Exercice 11 : [corrigé] Déterminer une base du noyau, l’image de l’application linéaire canonique-ment associée à la matrice A= 4 8 2 4 ainsi que cette dernière application linéaire, et vérifier le théorème du rang. et Exemple : supposons que l’ont ait : Exemple n°6 vecteurs Dans ce chapitre nous allons parler du lien entre matrices et applications linéaires. Donc cette application est la réciproque de .. Un automorphisme de est une application linéaire qui envoie une base de sur une autre base. est un vecteur de Matrice associée à une application bilinéaire et à une forme quadratique. Pour savoir laquelle, le principe ressemble plus ou moins au principe de Chasles mais avec un piège ! par rapport aux bases Soit B = (e1, e2, e3) une base de E et B’ = (e’1, e’2) une base de F, telles que : Exercice 1. et et Sous-groupes compacts de GLn(R) [Al] Feuilles de Travaux Dirigés Feuille n°1 : Le groupe linéaire une application linéaire de e’2 = 8e1 – 2e2 + 9e3 On peut transformer la matrice d’une application linéaire en une autre matrice de la même application linéaire mais dans une autre base. . Et cette matrice existe tout le temps, P est nécessairement inversible car si on a 2 bases, on peut toujours passer de l’une à l’autre. 2) = (c;d) avec la matrice A= a c b d . ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 2 On dit que u ∈L(K2,K3) est l’application linéaire canoniquement associée à la matrice A. 4. En effet je ne sais pas comment déterminer la matrice associée d'une application linéaire (cette notion a été très rapidement abordée en cours). uniques. cette application est linéaire et définie de ℝ2 vers ℝ2. -ème colonne de la matrice associée à par rapport aux bases Pour calculer X’, il me faut la matrice de passage de B’ vers B : MatB,B’(Id) : Tout cela sera évidemment beaucoup plus simple quand tu auras fait les exercices. Il est donc tout à fait naturel d'introduire la matrice à En effet, comme Id(e’i) = e’i pour tout i, on peut faire le parallèle avec ce que l’on a vu sur les applications linéaires en début de chapitre : P est est donc bien la matrice de l’application identité en partant de la base B’ pour arriver dans la base B : — L'étude des propriétés des applications linéaires entre deux espaces de type fini permet d'affirmer que : - l'application linéaire Si ψ est une deuxième application linéaire de F dans un troisième espace vectoriel G de base D alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. Nous verrons que pour les matrices de passage l’ordre est inversé… —. La matrice de passage possède quelques particularités que tu dois connaître. . La matrice suffit donc à connaître l’application f. L’égalité y = f(x) peut se traduire sous forme matricielle par Y = AX, où Y est le vecteur colonne reprenant les coordonnées de y dans la base B’, X est le vecteur colonne des coordonnées de x dans la base B, et A la matrice de f relativement aux bases B et B’. — (mais bien sûr mathématiquement ce n’est pas correct de dire ça, c’est juste pour comprendre^^). est un entier compris entre . Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ? la matrice à deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps Supposons que l’on ait une application linéaire f de E dans F. . —. —. et On désigne par f l'application linéaire de E vers E tq pour tout vecteur x de E: f(x)=x-2(x1+x2+x3)v où (x1, x2, x3) sont les coordonnées de x dans la base B. Je dois écrire la matrice A de f dans la base B. Notons B l’ancienne base et B’ la nouvelle base. , varie entre De même pour P x P -1. Les matrices de passage 2. f(e1) = 3e’1 + 4e’2 Ensuite, pour la matrice B, c'est facile, tu changes de base (avec une matrice de passage par exemple. Si on note ϕ l’application canoniquement associée à A et Bp et Bn, les bases cano-niques respectives de Kp et Kn, alors : A =MatB p,Bn(ϕ) Exemple : Soit ϕ l’application linéaire canoniquement associée à la matrice 1 0 1 1 −1 1 . Soient B=(e1,e2, e3) une base de E et v le vecteur de E tq v=e1-e2+e3. et un nombre de colonnes égal à la dimension de l'espace de départ de —. Voyons un exemple d’application concret. est. Bonjour à toutes et à tous, Je suis bloqué dans un exercice d'applications linéaires. Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a1, a2 et a3 tels que : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e1), f(e2) et f(e3), qui sont définis dans la matrice. Mat(f) x Mat(g) → Mat(f g) et non Mat(g f). Une matrice de passage P est toujours inversible et si P est la matrice de passage de B dans B’, alors P -1 est la matrice de passage de B’ dans B. Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ?
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